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向量的运算与图形的性质 一 教材分析 ? 我上课内容是：教科书（人教 A 版）《数学 必修 4 》第二章“平面向量的数量积”的第 一课时 --- 平面向量数量积的物理背景及其 含义。平面向量的数量积是继向量的线性 运算之后的又一重要运算，也是高中数学 的一个重要概念，在数学、物理等学科中 应用十分广泛。本节内容教材共安排两课 时，其中第一课时主要研究数量积的概念， 第二课时主要研究数量积的坐标运算，本 节课是第一课时。 二 学情分析 ? 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌 握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并 且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型 （主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在 与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学 习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这 些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性 运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有 数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点 是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响， 也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运 算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。 三目标分析 ? 根据学生的实际情况和本节课难点分析再结合 “课标”要求制定如下教学目标： ? 1 、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积 的含义及其物理意义； ? 2 、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌 握数量积的性质和运算律， ? 并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断； ? 3 、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生 抽象概括、推理论证的能力。 四 教学过程 创设问题情景，激发学习兴趣 探究数量积的概念 探究数量积的运算性质 探究数量积的运算律 应用与提高 小结提升与作业布置 板书设计 创设问题情景，激发学习兴趣 ? 设置问题引入本课 ? 问题 1 ：如图所示，一物体在力 F 的作用下 产生位移 S （ 1 ）力 F 所做的功 W= 。 （ 2 ） 请同学 们分析这个公式的特点： W （功）是 量， F （力） 是 量， S （位移）是 量， a 是 量 S F a ? 问题的设计意图在于使学生了解数量积的 物理背景，让学生知道，我们研究数量积 绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有 其客观背景和现实意义的，从而产生了进 一步研究这种新运算的愿望。同时，也为 抽象数量积的概念做好铺垫。 探究数量积的概念 ? 在分析“功”的计算公式的基础上提出问 题 2 ? 问题 2 ：你能用文字语言来表述功的计算公 式吗 ? 如果我们将公式中的力与位移推广到 一般向量，其结果又该如何表述？ 通过学生分析明晰概念： 已知两个非零向量与，它们的夹角为 a ，我们 把数量 ︱︱ · ︱︱ cosa 叫做与的数量积（或 内积），记作： · ， 即： · = ︱︱ · ︱︱ cosa a b a b a b a b ? 我们给出概念后提出问题 3 ? 问题 3 ：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么 不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表： 通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性 运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹 角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理 解数量积的性质和运算律做好铺垫 · 的符号 90 ° a≤180 ° a=90 ° 0 ° ≤a90 ° 角的范围 a b 探究数量积的运算性质 ? 教材中关于数量积的三条性质是以探究的 形式出现的，为了很好地完成这一探究活 动，在完成上述练习后，我不失时机地提 出问题 4 ： 比较︱ · ︱与︱ ︱×︱ ︱的大小，你有什 么结论？ ? 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明 晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积 的定义给予证明，完成探究活动。 b a a b 这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才 是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地 体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不 仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思 维品质。 数量积的性质 a a 设 和 都是非零向量，则 1 、⊥ · = 0 2 、当与同向时 ︱ · ︱ = ︱ ︱︱