高等数学数列与极限期末复习题汇总.pptVIP

第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 r 一 、数列极限的定义 引例 . 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . ? n 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时 , 无限逼近 S ( 刘徽割圆术 ) , 用其内接正 n 边形的面积 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 ● 数列的定义 按照自然数大小的次序排列起来的一组无 穷多个实数称为数列 数列中的每一个数称为项， 数列也可以看作是定义在自然数集上的函数 ● 例如 ● 共同性质 （要多近有多近） ● ⑤、⑥ 无此性质 数列极限的定义 ● 注 ● 逻辑形式 ● 若数列不收敛，则称该数列发散 例 1. 已知 证明数列 的极限为 1. 证 : ? ? 1 n x 1 ) 1 ( ? ? ? n n n , 0 ? ? ? 欲使 即 只要 ? 1 ? n 因此 , 取 , ] 1 [ ? ? N 则当 N n ? 时 , 就有 ? ? ? ? ? 1 ) 1 ( n n n 故 1 ) 1 ( lim lim ? ? ? ? ? ? ? ? n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ● 例 3. 设 , 1 ? q 证明等比数列 证 : 0 ? n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 q N ln ln 1 ? ? ? , 则当 n N 时 , 就有 ? ? ? ? 0 1 n q 故 0 lim 1 ? ? ? ? n n q . ln ln 1 q n ? ? ? 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ● 证明 数列极限的运算（证略） 求下列极限 二、收敛数列的性质 1. 收敛数列的极限是唯一的 ( 证略） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界 . 证 : 设 取 , 1 ? ? , N ? 则 当 N n ? 时 , 从而有 a a x n ? ? ? a ? ? 1 取 ? ? , , , , max 2 1 N x x x M ? ? a ? 1 则有 . ) , 2 , 1 ( ? ? ? n M x n 由此证明收敛数列必有界 . 说明 : 此性质反过来不一定成立 . 例如 , ? ? 1 ) 1 ( ? ? n 虽有界但不收敛 . , 1 ? ? a x n 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性 . 若 且 时 , 有 , ) 0 ( ? . ) 0 ( ? 证 : 对 a 0 , 取 推论 : 若数列从某项起 ) 0 ( ? . ) 0 ( ? ( 用反证法证明 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 子数列 , ? ? ? a x k n 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证 : 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 , 0 ? ? ? , N ? 当 时 , 有 现取正整数 K , 使 于是当 K k ? 时 , 有 ? k n N ? 从而有 由此证明 . lim a x k n k ? ? ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 证明：数列 是发散的 .