3矩阵的相似标准形.pptVIP

例 20 已知 tr ( A ) ? r ( A ) ? 1, 证明： A 2 ? A . 53 最小多项式 定义：矩阵 A 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 ???????????? 称为 A 的最小多项式 . 性质 1 ：若 m ( x ), ? ( x ) 分别是矩阵 A 的最小多项式、化零多项式， ?????????????? 则 m ( x ) | ? ( x ). 性质 2 ：任意矩阵的最小多项 式是唯一的 性质 3 ：如果矩阵 A , B 相似，则 A , B 有相同的最小多项式。 定义：（线性变换的最 小多项式） 21 定理 5 设 m ( x ), C ( x ) 分别是矩阵 A 的最小多项式和特征多项式， 则 m ( x ) | C ( x ) ，并且，对 ? 0 ? C , m ( ? 0 ) ? 0 ? C ( ? 0 ) ? 0 。 22 例 6 求下列矩阵的最小多项 式： ? ? a ? ? a 1 ? ? ? a ? ? a 1 ? a 0 ? ? ? ? ? , ? a ? ? ? , ? a 1 ? ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? 23 第二节 Hamilton-Cayley 定理 定理3 ： 设 A ? F n ? n , C ( ? ) ? ? I ? A . 则 C ( A ) ? O . 定理4 ：设 f ? Hom ( V , V ), C ( ? ) 是 f 的特征多项式，则 C ( f ) ? O . Schur 引理：对 ? A ? C n ? n , 存在酉矩阵 U 使得 U AU 是上三角矩阵。 H 24 ? 1 ? 2 ? 2 ? 已知 A ? ? ? 1 0 ? 3 ? ? ，求 A 100 。 例 5 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? C ( ? ) ? ( ? ? 1 )( ? ? 1 ) 2 化零多项式 设 f ( x ) 是多项式。若 f ( A ) ? O , 则 A 的特征值均是 f ( x ) ? 0 的根 . 25 最小多项式 定义：矩阵 A 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 ???????????? 称为 A 的最小多项式 . 性质 1 ：若 m ( x ), ? ( x ) 分别是矩阵 A 的最小多项式、化零多项式， ?????????????? 则 m ( x ) | ? ( x ). 性质 2 ：任意矩阵的最小多项 式是唯一的 性质 3 ：如果矩阵 A , B 相似，则 A , B 有相同的最小多项式。 定义：（线性变换的最 小多项式） 设 m ( x ), C ( x ) 分别是矩阵 A 的最小多项式和特征多项式， 则 m ( x ) | C ( x ) ，并且，对 ? 0 ? C , m ( ? 0 ) ? 0 ? C ( ? 0 ) ? 0 。 26 例 7 ? ? a 1 ? ? ? ? b 1 ? ? 设 ? ? ? a ? 2 ? ? , ? ? ? b ? 2 ? ? , A ? ?? H . 求 A ? ? ? 的最小多项式。 ? ? a ? n ? ? ? ? ? ? b n ? ? 27 例 8 f ? Hom ( C 2 ? 2 , C 2 ? 2 ) 定义为： ? X ? C 2 ? 2 , f ( X ) ? ? ? 1 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? X 求 f 的最小多项式。 28 第三节 可对角化的条件 目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在 空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。 29 已知的判别方法 定理 6 ： n ? n 矩阵 A 相似于对角阵 ? A 有 n 个线性无关 的特征向量。 定理 7 ：矩阵的属于不同特征值的特征向 量线性无关。 定理 8 ：若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 是矩阵 A 的互不相同的特征值， ?????????????? ? 1 i , ? 2 i , ? , ? t i i 是 A 的属于特征值 ? i 的线性无关的特征向量，则 ?????????????? ? 11, ? 21 , ? , ? t 1 1 ? 12, ? 22 , ? , ? t 2 2 ??? ? 1 s , ? 2 s , ? , ? t s s ?????????????? 线性无关。 30 线性变换的可对角化问题 假设 V 是 n 维线性空间， f ? Hom ( V , V ). 定理 9 ： f 可对角化 ? f 有 n 个线性无关的 特征向量。 定理 1 0 : f 的属于不同特征值的特征向 量线性无关。 定理 1 1 ：若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 是线性变换 f 的互不相