数学建模竞赛时间序列分析修订版.pptVIP

时间序列分析 横截面数据时间序列数据 人们对统计数据往往可以根据其特点从两个方面来切入，以简化分析过程。 一个是研究所谓横截面(cross section)数据，也就是对大体上同时，或者和时间无关的不同对象的观测值组成的数据。 另一个称为时间序列(time series)，也就是由对象在不同时间的观测值形成的数据。 前面讨论的模型多是和横截面数据有关。这里将讨论时间序列的分析。我们将不讨论更加复杂的包含这两方面的数据。 时间序列和回归 时间序列分析也是一种回归。 回归分析的目的是建立因变量和自变量之间关系的模型；并且可以用自变量来对因变量进行预测。通常线性回归分析因变量的观测值假定是互相独立并且有同样分布。 而时间序列的最大特点是观测值并不独立。时间序列的一个目的是用变量过去的观测值来预测同一变量的未来值。 即时间序列的因变量为变量未来的可能值，而用来预测的自变量中就包含该变量的一系列历史观测值。 当然时间序列的自变量也可能包含随着时间度量的独立变量。 例 下面看一个时间序列的数据例子。这是某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据。 我们希望能够从这个数据找出一些规律，并且建立可以对未来的销售额进行预测的时间序列模型。 例 利用点图则可以得到对该数据更加直观的印象： 从这个点图可以看出。总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的；有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。当然，除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。 1 时间序列的组成部分 从该例可以看出，该时间序列可以有三部分组成：趋势(trend)、季节(seasonal)成分和无法用趋势和季节模式解释的随机干扰(disturbance）。 例中数据的销售就就可以用这三个成分叠加而成的模型来描述。 一般的时间序列还可能有循环或波动(Cyclic, or fluctuations)成分；循环模式和有规律的季节模式不同，周期长短不一定固定。比如经济危机周期，金融危机周期等等。 一个时间序列可能有趋势、季节、循环这三个成分中的某些或全部再加上随机成分。因此， 如果要想对一个时间序列本身进行较深入的研究，把序列的这些成分分解出来、或者把它们过虑掉则会有很大的帮助。 如果要进行预测，则最好把模型中的与趋势、季节、循环等成分有关的参数估计出来。 就例中的时间序列的分解，通过计算机统计软件，可以很轻而易举地得到该序列的趋势、季节和误差成分。 下图表示了去掉季节成分，只有趋势和误差成分的序列。 下图用两条曲线分别描绘了趋势成分和季节成分。 下图用两条曲线分别描绘了趋势成分和误差成分。 2 指数平滑 如果不仅满足于分解现有的时间序列，而想要对未来进行预测，就需要建立模型。这里先介绍比较简单的指数平滑(exponential smoothing)。 指数平滑只能用于纯粹时间序列的情况，而不能用于含有独立变量时间序列的因果关系的研究。 指数平滑的原理为：当利用过去观测值的加权平均来预测未来的观测值时（这个过程称为平滑），离得越近的观测值要给以更多的权。 而“指数”意味着：依已有观测值“老”的程度，其权数按指数速度递减。 以简单的没有趋势和没有季节成分的纯粹时间序列为例，指数平滑在数学上是一个几何级数。 这时，如果用Yt表示在t时间的平滑后的数据（或预测值），而用X1, X2, …, Xt表示原始的时间序列。那么指数平滑模型为 自然，这种在简单情况下导出的公式（如上面的公式）无法应对具有各种成分的复杂情况。 后面将给出各种实用的指数平滑模型的公式。 根据数据，可以得到这些模型参数的估计以及对未来的预测。 在和例子有关的指数平滑模型中，需要估计12个季节指标和三个参数（包含前面公式权重中的a，和趋势有关的g，以及和季节指标有关的d）。 在简单的选项之后，SPSS通过指数平滑产生了对2003年一年的预测。下图为原始的时间序列和预测的时间序列（光滑后的），其中包括对2003年12个月的预测。图下面为误差。 3 Box-Jenkins 方法:ARIMA模型 如果要对比较复杂的纯粹时间序列进行细致的分析，指数平滑往往是无法满足要求的。 而若想对有独立变量的时间序列进行预测，指数平滑更是无能为力。 需要更加强有力的模型。这就是下面要介绍的Box-Jenkins ARIMA模型。 数学上，指数平滑仅仅是ARIMA模型的特例。 ARIMA模型 ：AR模型 比指数平滑要有用和精细得多的模型是Box-Jenkins引入的ARIMA模型。或称为整合自回归移动平均模型(ARIMA 为Autoregressive Integrated Moving Average一些关键字母的缩写)。 该模型的基础是自回归和移动平均模型或ARMA(Autoregressi