数学建模竞赛微分方程模型 (2)定稿.pptVIP

数学建模讲义 微分方程模型 模型三：人口发展方程 建模示例二：传染病模型 模型1 最简单模型(早期模型) 假设1：每个病人在单位时间内传染的人数是常数r； 假设2：不考虑死亡问题； 模型2 中期模型 假设1：每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比r; 假设2：不考虑死亡问题； 假设3：总人数有限 模型3 精确模型 假设1：研究对象分成三类：传染源x(t)、敏感群y(t) 和免疫群z(t); 假设2：单位时间内每个传染源传染的人数与敏感群的人数成正比; 假设3：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数； 假设4：不考虑死亡且总人数有限。 建模示例三：作战模型 Lanchester战斗模型 设x部队和y部队相互交战，x(t)和y(t)分别是两部队在t时刻的战斗力，其连续可导。 建模示例四：火箭发射问题 补充——差分方程 建模示例4：地中海鲨鱼问题 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究, 他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中, 发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降, 食用鱼增加, 鲨鱼等也随之增加,但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象, 于是求助于著名的意大利数学家V. Volterra, 希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型, 定量地回答这个问题. 10.7 14.8 15.9 16.0 27.3 百分比 1923 1922 1921 1920 1919 年代 36.4 21.2 22.1 21.4 11.9 百分比 1918 1917 1916 1915 1914 年代 捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例 该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系, 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用, 是最简单的模型. 1．基本假设： (1)食饵由于捕食者的存在使增长率降低, 假设降低的程度与捕食者数量成正比; (2)捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。 2．符号说明： x——食饵在t时刻的数量； a——食饵独立生存时的增长率； e——捕食者掠取食饵的能力； f——食饵对捕食者的供养能力. y——捕食者在t时刻的数量； b——捕食者独立生存时的死亡率； K——捕获能力系数. 3. 模型(一) 不考虑人工捕获 4. 模型(一) 求解 利用微分方程的相关理论，知原方程组的解是周期解，设周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值： 5. 模型(二) 考虑人工捕捞 类似可计算x、y的平均值： K——捕获能力系数. 结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食(食用鱼)平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者(鲨鱼等)数量上升。——“涸泽而鱼”除外 推广：解释杀虫剂的反效果——杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量的增加。 用Matlab软件求常微分方程的数值解 [t, x]=solver(’fun’, ts, x0,options） ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由待解方程写成的m-文件名 ts=[t0,tf]，t0、tf为自变量的初值和终值 函数的初始值 ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 自变量值 函数值 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at), rt, at：分别为设定的相对误差和绝对误差. help ode45/23…. 首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2)); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1)); 其次，建立主程序shark.m如下： [t,x]=ode45(shier,[0 15],[25 2]); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)) 6. 模型检验 求解结果： 由上两图知：x(t)与y(t)都是周期函数 模型（二） 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为K，相当于食饵的自然增长率由a降为a-K，捕食者的自然死亡率由b增为 b+K 设战前捕获能