浅谈常微分方程的数值解法及其应用文献综述.pdfVIP

文献综述 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候， 就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又 不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本 规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数 学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许 多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研 究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经 济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律 和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并 且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那 种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要 的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运 动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现 象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛 . [2]从数学自身的角度 看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、 微分几何等各方面进行发展 .从这个角度说，微分方程变成了数学的中心 . [3] 总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成 为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1 微分方程概念介绍 2.1.1 微分方程概况 word文档 可自由复制编辑 由一元函数得到的方程.即：称含有自变量，未知函数及其导数的关系式 dy d y d y2 n F(x,y, , ,..., )0. （1） dx dx2 dxn dy 为常微分方程.其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶.例如  x ， dx dy d2 g   y ，是一阶常微分方程.  sin 0是二阶常微分方程.设y  (x)定义于 dx dt p2 J n x 区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即  n d (x) d (x)  F(x, (x), ,..., )0,xJ. dx dxn y (x) J J [4] 就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称