初三九年级数学：24.1.2垂径定理 (2).pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 情境导入 动手操作 准备材料和工具：A4 纸，圆规，剪刀 制作圆： 1. 用圆规在 A4 纸上画一个圆，标注圆心 ; 2. 用剪刀剪下这个圆 . 折叠圆： 沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 . 通过折纸和动态课件我们发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 . 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC＝BC，AD＝BD 问题探究 说理 C . O A E B D 叠 合 法 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。 因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 符号语言表达 ???? ∵CD是直径且 CD⊥AB???? ????∴CD是直径且 CD⊥AB???? 垂直于弦的直径的几个基本作图： 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 已知：AB是弦，CD平分AB， CD ⊥AB，求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C . O A E B D C 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 总结归纳 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个量中的已知任何两个量都可推出其他三个量。 垂径定理“知二得三”： 例题解析 C . O A E B D AC ︵ BC ︵ . A E B O 例题解析 例题3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD E . A C D B O 例题解析 例题4：已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD ⌒ ⌒ 证明：作直径MN⊥AB∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . M C D A B O N 结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等 例题解析 解得：R≈27．9（m） B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． AB ︵ AB ︵ AB ︵ 解决弦时常用的辅助线： 过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。 . C D A B O M N E . A C D B O . A B O 课堂小结 当堂达标 1.在⊙O中，r=13，弦AB=