群论第三章讲解.ppt

§3.3 关于有限群表示的基本定理3.3.1 么正化定理 ;将①式代入②式得：R，S∈G 即 即 ——（*） 据群的性质（和群表示的性质） ∴若能找到x，使 （*）式便成立了，也就证明了定理1。 ;显然，H矩阵是厄来矩阵，总可通过么正的相似变换U使其对角化： 若令； 代入(xx+)-1, 而 ，定理得证。 ?以后的所有表示均看成么正表示。 ;定理2：若群G{A1, A2, …Ak, … Ah}有两组等价的么正表示： D(1)(A1), D(1)(A2), … D(1)(Ak), … D(1)(Ah) D(2)(A1), D(2)(A2), … D(2)(Ak), … D(2)(Ah) 且有矩阵M (或CM，C为常数) 使得 MD(1)(Ak)M-1= D(2)(Ak)(?Ak ?G) 则D(1)(G)和D(2)(G)之间相似变换可以借助于一个么正矩阵来实现。 （证明时用定理：与矩阵元各不相同的对角矩阵可对易的矩阵必为对角矩阵）;3.3.2 正交定理 ; Ⅱ：若对M加上厄密条件，也不影响结论： 设群G，表示 若 ， 对此式两边取转置共轭： 两边乘 即： 么正，故上式即为： 即：只要M和D(R)对易，必有M+和D(R)对易， 则 都可对易。;V-1( )V;设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等，作 这样的x一定存在 这时，上式变为： 即 ，其中 （∵当 ） ∴ 即：; 若对角矩阵元在 i j p 时，且i和j不相等，则 或当i和j一个大于p，一个小于p时， 而这个矩阵是可约的，同我们假设它不可约矛盾，要使此矩阵不可约，则必有 ，即d?为常数矩阵。又由于 。 ∴d也为常数矩阵， 也为常数矩阵。; Schur引理1直接应用： ① Abel群的表示矩阵一定是一维的（即常数矩阵），因为它的任何一个元素的表示矩阵必与其它所有矩阵对易。 ② 如某个不是比例于单位矩阵的矩阵(常矩阵），与表示的所有矩阵对易，则此表示是可约的。 ;m1?m2;相当于?ij;（ii）当m1?m2时, 设m1m2 可对矩阵x添上m1-m2列零使得x变为x?： 且： 显然： ∴ 但 重复(i)的证明可得x=0，（ ∴ x? =0） 结论：不同的不可约表示不可能彼此有联系（除非用零矩阵）