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EGF E G F 全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连 接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． 直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系； 将图 1 中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45o，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图 1 中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问 （1）中的结论是否仍然成立？ A D  A D  A  D G E  F  E B  F  C  B  C  B  C 图 1 图 2 图 3 1 ? ? 2、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的 中点． ?AEF ?90 ，且 EF 交正方形外角 ?DCG 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 △≌△AME ECF ，所以 AE ?EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： 小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上 （除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为 小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； 小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条 件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过 程；如果不正确，请说明理由． A D  A D  A D  F F  F B  E 图 1  C G  B  E 图 2  C G  B  图 3  C E  G 2 ． ． 3、已知 Rt △ ABC 中， AC ?BC，∠C，?90? D 为 AB 边的中点， ?EDF ?90°， ?EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F． 当 ?EDF 绕 D 点旋转到 DE ? AC 于 E 时（如图 1），易证 S△△DEF△?S CEF ?  S  ABC 当 ?EDF 绕 D 点旋转到 DE 和AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S  △ DEF 、 S  △CEF 、 S  △ ABC 又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明． A A  A D E  D  D C  F 图 1  B  E  C  图 2  F  B  C E  图 3  B  F 3 4、在 △ ABC 中， AB ?BC ?2，?°，ABC?120 将 △ ABC 绕点 B 顺时针旋转角 ? (0° ?? ?90° ) 得 △，A1BC1 A1 B 交 AC 于点 E ， A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点． （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？并 证明你的结论； A1  E  D  F C  C  1  A1  E  D  F C  C  1 A B A B （2）如图 2，当 ? ?30° 时，试判断四边形 BC1 DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求 ED 的长． 4 5、如图 9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证： CD=BE，△AMN 是等边三角形． 当把△ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请 证明，若不成立请说明理由；（4 分） 当△ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是， 请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE 与△ABC eq \o\ac(△,及)AMN 的面积之比；若不是， 请说明理由．（6 分） 图 9 图 8  图 10  图 11 5 6、点 C 为线段 AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等 N N 边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交