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全等三角形常见辅助线的作法 【知识梳理】 全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。 全等三角形的判定方法有： “SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL” 3、 全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。 全等三角形的周长、面积相等。 4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对 折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特 定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的 题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的 知识解答． 【例题精讲】 ? 例 1：已知，如eq \o\ac(△,图)ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是_________. A B  D  C D D 例 2：已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD B C D 【巩固】 1.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F， 求证:AF＝EF. A  A E  F B C 2.已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB＞AC，求证：AB－AC﹥BD－DC A B D C 3.如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证:BC＋DC＝AC. C  D 例 3：如图，已知eq \o\ac(△,在)ABC中，∠B＝60°eq \o\ac(△,，)ABC的角平分线AD，CE相交于点O 求证：OE＝OD A E O B D C 例 4：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作 PN⊥AB于 N，PM ⊥AC 于点M 求证：BN＝CM  N B P Q A M C 例 5：AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，E为MN上一点eq \o\ac(△,，)ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB。 ? 求证PB ＞PA . 【拓展】正方形ABCD中，E为BC 上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数. A  D F B  E  C 【课后练习】 1、如图，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q 求证：AB＋BP＝BQ＋AQ ?  A Q B   C 2、如图 eq \o\ac(△,，)ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE＋CF与EF的大小.  A E B  D F C ? 3、如图 eq \o\ac(△,，)ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的长. E B  G  A  C F D 【专题】证明线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 【例1】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC， 且∠DEC＝60°； 求证：BC＝AD＋AE 考 点 ： 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 等 边 三 角 形 的 判 定 ． A D 专 题 ： 动 点 型 ． E 分 析 ： 此 题 连 接 AC ， 把 梯 形的 问 题 转 化 成 等 边三 角 形 的 问 题 ，然 后 利 用 已 知 条 件和 等 边 三 角 形 的 性 质 通 过 证 明 三角 形 全 等 解 决 它 们的 问 题 ． B  C 解 答 ：  解 ： 有 BC=AD+AE ． 连 接 AC ， 过 E 作 EF ∥ BC 交 AC 于 F 点． ∵ ∠ B=60° ， AB=B