2020年高考理科数学一轮复习大题篇-导数的综合应用问题.docx免费

21世纪教育网 精品试卷·第 PAGE 2 页 （共 NUMPAGES 2 页） PAGE 2 2020年高考理科数学一轮复习大题篇-导数的综合应用问题 【归类解析】 题型一　证明不等式 【解题指导】 (1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性． (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)f(x2)＋g(x2)对x1x2恒成立，即等价于函数h(x)＝f(x)＋g(x)为增函数． 【例】 已知函数f(x)＝1－eq \f(x－1,ex)，g(x)＝x－ln x. (1)证明：g(x)≥1； (2)证明：(x－ln x)f(x)1－eq \f(1,e2). 【证明】　(1)由题意得g′(x)＝eq \f(x－1,x)(x0)， 当0x1时，g′(x)0. 当x1时，g′(x)0， 即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 所以g(x)≥g(1)＝1，得证． (2)由f(x)＝1－eq \f(x－1,ex)，得f′(x)＝eq \f(x－2,ex)， 所以当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0， 即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数， 所以f(x)≥f(2)＝1－eq \f(1,e2)(当且仅当x＝2时取等号)．① 又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，② 且①②等号不同时取得， 所以(x－ln x)f(x)1－eq \f(1,e2). 【训练】 已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：f(x)sin x在(0，＋∞)上恒成立． (1)【解】　依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex， 又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x. (2)【证明】　依题意，要证f(x)sin x， 即证xln x－ex＋1sin x， 即证xln xex＋sin x－1. 当0x≤1时，ex＋sin x－10，xln x≤0， 故xln xex＋sin x－1，即f(x)sin x. 当x1时，令g(x)＝ex＋sin x－1－xln x， 故g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1. 令h(x)＝g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1， 则h′(x)＝ex－eq \f(1,x)－sin x， 当x1时，ex－eq \f(1,x)e－11， 所以h′(x)＝ex－eq \f(1,x)－sin x0， 故h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故h(x)h(1)＝e＋cos 1－10，即g′(x)0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)g(1)＝e＋sin 1－10， 即xln xex＋sin x－1，即f(x)sin x. 综上所述，f(x)sin x在(0，＋∞)上恒成立． 题型二　不等式恒成立或有解问题 【解题指导】 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围． (2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 【例 】已知函数f(x)＝eq \f(1＋ln x,x). (1)若函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋\f(1,2)))上存在极值，求正实数a的取值范围； (2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥eq \f(k,x＋1)恒成立，求实数k的取值范围． 【解】　(1)函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1－1－ln x,x2)＝－eq \f(ln x,x2)， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减． 所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点， 所以0a1a＋eq \f(1,2)， 故eq \f(1,2)a1，即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)当x≥1时，k≤eq \f(?x＋1??1＋ln x?,x)恒成立， 令g(x)＝eq \f(?x＋1??1＋ln x?,x)(x≥1)， 则g′(x)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋ln x＋1＋\f(1,x)))x－?x＋1??1＋ln x?,x2)＝eq \f(x－