2020年高考理科数学一轮复习大题篇—数列综合.docx免费

PAGE 2 2020年高考理科数学一轮复习大题篇—数列综合 【归类解析】 题型一　等差数列、等比数列的交汇 【解题指导】 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程. 【例】记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列. 【解】　(1)设{an}的公比为q. 由题设可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1?1＋q?＝2，,a1?1＋q＋q2?＝－6.)) 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝－eq \f(2,3)＋(－1)neq \f(2n＋1,3). 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq \f(4,3)＋(－1)neq \f(2n＋3－2n＋2,3) ＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋?－1?n\f(2n＋1,3)))＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列. 【训练】已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比. 【解】　(1)设数列{an}的公差为d 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2S3＝S1＋1＋S4，,a\o\al(2,2)＝a1a5，,d≠0，)) 整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2a1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，)) ∴an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2， ∴S4＝16，S6＝36， 又S4Sn＝Seq \o\al(2,6)，∴n2＝eq \f(362,16)＝81， ∴n＝9，公比q＝eq \f(S6,S4)＝eq \f(9,4). 题型二　　数列的求和 【解题指导】　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等. 1　分组求和与并项求和 【例】已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)))，a3＋a4＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,a4))). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝aeq \o\al(2,n)＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解】　(1)设等比数列{an}的公比为q(q0)， 则an＝a1qn－1，且an0， 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a1q)))，,a1q2＋a1q3＝32\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1q2)＋\f(1,a1q3)))，)) 化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q?q＋1?＝2?q＋1?，,a\o\al(2,1)q5?q＋1?＝32?q＋1?，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q＝2，,a\o\al(2,1)q5＝32，)) 又∵a10，q0， ∴a1＝1，q＝2， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝aeq \o\al(2,n)＋log2an ＝4n－1＋n－1， ∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1) ＝eq \f(4n－1,4－1)＋eq \f(n?n－1?,2)＝eq \f(4n－1,3)＋eq \f(n?n－1?,2). 2　错位相减法求和 【例】已知数列{an}满足an≠0，a1＝eq \f(1,3)，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N＋. (1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝eq \f(2n,an)，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解】　(1)由已