2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题.docx免费

PAGE 4 2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一　范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围. 【解】　(1)∵双曲线的离心率为eq \f(2\r(3),3)， ∴椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2). 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1， ∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，)) 消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4?m2－1?,1＋4k2)， 于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列， 故eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝eq \f(k2x1x2＋km?x1＋x2?＋m2,x1x2)＝k2， 则－eq \f(8k2m2,1＋4k2)＋m2＝0. 由m≠0得k2＝eq \f(1,4)，解得k＝±eq \f(1,2). 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)0，得0m22， 显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾). 设原点O到直线的距离为d， 则S△OMN＝eq \f(1,2)|MN|d ＝eq \f(1,2)·eq \r(1＋k2)·|x1－x2|·eq \f(|m|,\r(1＋k2)) 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1). 【训练】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. (1)【证明】　设P(x0，y0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y\o\al(2,1)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)y\o\al(2,2)，y2)). 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以y1，y2为方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋y0,2)))2＝4·eq \f(\f(1,4)y2＋x0,2)， 即y2－2y0y＋8x0－yeq \o\al(2,0)＝0的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴. (2)【解】　由(1)可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－y\o\al(2,0)，)) 所以|PM|＝eq \f(1,8)(yeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,2))－x0＝eq \f(3,4)yeq \o\al(2,0)－3x0， |y1－y2|＝2eq \r(2?y\o\al(2,0)－4x0?). 所以△PAB的面积 S△PAB＝eq \f(1,2)|PM|·|y1－y2|＝. 因为xeq \o\al(2,0)＋eq \f(y\o\al(2,0),4)＝1(－1≤x00)， 所以yeq \o\al(2,0)－4x0＝－4xeq \o\al(2,0)－4x0＋4∈[4,5]， 所以△PAB面积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6\