高等数学下典型例题参考解答·何先枝.pdfVIP

合肥工业大学 何先枝 2015 考研数学 基础教程 （高数下） 1 第 页 合肥工业大学 何先枝 第五章 多元函数微分学 典型例题 题型1 多元函数微分学的基本概念及其关系 1 2  sin(x y), xy0,  【例5.1】设f (x,y)xy 则f (0,1)x （ ）。  0, xy0, （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在 〖答案〗（B） 〖解〗由偏导数定义可得 1 2 sin(x 1)0 2  f (x,1)f (0,1) x1 sinx f (0,1)limx lim lim 2 1。■ x0 x x0 x x0 x 【例5.2】二元函数zf (x,y)在点(x ,y )处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的 0 0 （ ）。 （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）以上都不是 〖答案〗（A） 〖解〗由多元函数微分学重要概念间关系可得 “zf (x,y)在点(x ,y )处存在一阶连续偏导数”是 “zf (x,y)在点(x ,y )处可 0 0 0 0 微”的充分条件，不是必要条件。  2 2 1 2 2 (x y )sin 2 2 , x y 0; 反例：f (x,y) x y 在点(0,0)处可微，但偏导不连续。  0, x y 02 2 〖解〗（ⅰ）、连续： 由无穷小性质[无穷小与有界函数积仍为无穷小]知： 2 2 1 limf (x,y)lim(x y )sin 0f (0,0)， 2 2 x0 x0 x y y0 y0 故f (x,y)在点(0,0)处连续。 （ⅱ）、可导：由偏导数定义知 2 1 x sin 0 f (x,0)f (0,0)