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例48. 证: 证明递推公式: 设 注: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例49. 的一个原函数是 求 解: 若先求出 再求积分反而复杂. 已知 例50. 解法1： 令 则 故 计算 先换元后分部 例22. 计算下列不定积分: 解： 例23. 计算下列不定积分: 解： 例23. 解： 例24. 计算 解: 原式 = 例25. 解: 分析: 计算 原式 = 例26. 解: 计算 原式= 四、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式 的反函数. 例27. 计算 解： 令 得 于是 再将 代回，整理得 （也可用凑微分法） 例28. 计算 解： 希望去掉根号，故令 于是 原式 代回 例29. 求 解: 令 则 ∴ 原式 原式 代回 例30. 求 解: 则 ∴ 原式 令 例31. 求 解: 则 ∴ 原式 注: 1. 被积函数含有 除采用三 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . 还可用代换 或 角代换外, 还可利用公式 2. 再补充两个常用双曲函数积分公式 倒代换 例32. 解: 则 当x 0 时, t 0, 当 x 0 时, 也有相同的结果. 计算下列不定积分: 故 代回 (1)令 例33. (2) 解: 令 则 于是 代回 （也可用部分分式方法） 例34. 计算 解: 令 则 于是 代回 （也可用部分分式方法） 例35. 计算 解: 因为被积函数中有 故可设 则 于是 代回 （也可用拆项法做） 注: 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 第八节讲 由导数公式 得 实际操作程序： (1) v 容易求得 ; 容易计算 . 五、分部积分法 移项后 凑一个微分dv 交换u、v位置 例36. 解: 令 则 ∴ 原式 同理 原式 计算 例37. 解: 取 则 ∴ 原式 当被积函数是指数函数 (或三角函数) 与幂函数 相乘时，将后者取为u，前者取为v’. 幂函数的幂次会降低，故称 “降幂法”. 如上面两例. 由于在运算过程中 计算 注： 例38. 计算 解： 例39. 解: 令 则 原式 = 计算 例40. 计算 解： 原式 = 例39和例40给出的是“升幂法”， 三角函数) 与幂函数相乘时. 用在被积函数是对数函数 (或反 幂函数的幂次会升高. 是由于在运算过程中 例41. 计算 解： 原式 = x = sin t 解: , 则 继续凑微分 故 注: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 本例及例43是循环法. 例42. 计算 取 例43. 计算 解: 于是 将被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例44. 求 解: 令 则 原式= 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 例45. 计算 解: 于是 可先用三角函数凑微分 例46. 计算 解: 若凑 则做分部积分后 不易运算. 因此可考虑凑微分 于是 例47. 解: 则 得递推公式 计算 令 注: 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 科学出版社 * * 运行时, 点击按酒“例4” 可显示例4 的解题过程. * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. 二、直接积分法 三、不定积分的第一类换元积分法 一、 不定积分概念 四、不定积分的第二类换元积分法 五、分部积分法 六、有理函数的积分 七、三角函数有理式的积分 八、简单无理函数的积分 定义 1. 函数 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; 若 可积，则 ( C 为任意常数 ) 例如, 记作 一、不定积分的概念 C 称为积分常数，表示原函数全体，不可省略！ 从不定积分定义可知: 或 或 利用逆运算思想，直接写出原函数 二、 直接积分法 (1)式表明函数先积分再微分得到的还是原来的函数,而(2) 式表明先微分再积分则要增加一个常数! 或 或 不定积分的性质 推论: 若 则 例1. 解: 求 原式 = 例2. 求 解: 原式 = 原式 = 例3. 求 解: 原式 = 解: