圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线中的探究性(存在性)问题.docx

WORD格式 专业资料整理 圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学 方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例 1．在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x2 y2 1有 2 两个不同的交点 P和Q． （I）求 k 的取值范围； （ II）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A， B ，是否存在常数 k ，使得向量 OP OQ 与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线 l 的方程为 y kx 2 ， 代入椭圆方程得 x2 ( kx 2) 2 1．整理得 1 k 2 x2 2 2kx 1 0 ① 2 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q等价于 8k 2 4 1 k 2 4k 2 2 0 ， 2 解得 k 2 或 k 2 ．即 k 的取值范围为 ∞ ， 2 2，∞ ． 2 2 2 2 （Ⅱ）设 P(x1，y1 )，Q(x2，y2 ) ，则 OP OQ ( x1 x2，y1 y2 ) ， 由方程①， x1 x2 4 2k ． ② 1 2k 2 又 y1 y2 k ( x1 x2 ) 2 2 ． ③ 而 A( 2，0)， B(01，)，AB ( 21)， ． 所以 OP OQ 与 AB 共线等价于 x1 x2 2( y1 y2 ) ， 将②③代入上式，解得 k 2 ． 2 圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品 2 2 ，故没有符合题意的常数 k ． 由（Ⅰ）知 k 或 k 2 2 练习 1：（ 08 陕西卷 20）．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C ： y 2x2 ，直线 y kx 2交C 于 A，B两点， M 是线段 AB的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N ． （Ⅰ）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 解 法 一 ：（ Ⅰ ） 如 图 ， 设 A( x1，2x1 2 ) ， B(x2，2x2 2 ) ， 把 y k x 2 代 入 y 2x2 得 2x2 kx 2 0 ， 由韦达定理得 x1 x2 k ， x x 1 ， 2 1 2 xN xM x1 x2 k ， k k 2 N 点的坐标为 ， ．  y M 2 B 1  A 2 4 4 8 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y k 2 m x k ， 8 4 将 y 2x2 代入上式得 2x2 mx mk k 2 0 ， 4 8 直线 l 与抛物线 C 相切， m2 8 mk k 2 m2 2mk k 2 (m k) 2 0 ， 4 8 l ∥ AB ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0，则 NA NB ，又 |MN | 1|AB|． 2 1 ( y1 y2 ) 1 (kx1 1 [ k( x1 由（Ⅰ）知 yM 2 kx2 2) 2 2 2  N x O 1 m k ． M 是 AB 的中点， x2 ) 4] 1 k 2 k 2 ． 2 4 2 2 4 MN x 轴， | MN | | yM yN | k 2 2 k2 k2 16 ． 4 8 8 又|AB| 1 k2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2 )2 4x1x2 圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品 k 2 1 1 k 2 4(1) k2 1 k 2 16 ． 2 2 k2 16 1 k2 1 k 2 16 ，解得 k 2 ． 8 4 即存在 k 2，使 NA NB 0 ． 解法二：（Ⅰ）如图，设 A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 y kx 2 代入 y 2x2 得 2x2 kx 2 0 ．由韦达定理得 x1 x2 k ， x1 x2 1 ． 2 xN xM x1 x2 k N 点的坐标为 k k 2 ． y 2x 2 y 4x ， 2 ， 4 ， ， 4 8 k k ， l ∥ AB ． 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4 4 （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 NA NB 0 ． 由（Ⅰ）知 NA x1 k ， 2 k2 ， x2