圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题答案.docx

WORD格式 专业资料整理 知能梳理 【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点 P到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 PF2 2a F1 F2 ) ，这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作 椭圆的焦距。 注意：若 ( PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ； 若(PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为 a、 b，焦点为 c） （ 1）当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a2 b 2 ； a 2 b 2 （ 2）当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a 2 b 2 2、两种标准方程可用一般形式表示： x2 y2 1 或者 mx2+ny2=1 m n 三、椭圆的性质（ 以 x 2 y 2 1 (a b 0)为例） a 2 b 2 - 1 - 1、对称性 ： 对于椭圆标准方程 x 2 y 2 b 0)：是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对 a 2 1 (a b 2 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围 ： 椭圆上所有的点都位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ， yb 。 3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆 x2 y2 1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1 ( a,0) ， a2 b2 A2 (a,0) ， B1 (0, b) ， B2 (0,b) 。 ③线段 A1 A2 ， B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A22a ， B1 B2 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆 的长半轴长和短半轴长。 4、离心率： ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e表示，记作 e 2c c 。 2a a ② 因为 (a c 0) ，所以 e 的取值范围是 (0 e 1) 。 e越接近 1，则 c 就越接近 a ，从而 ba 2 c2 越小，因此椭圆越扁； 反之， e越接近于 0， c就越接近 0，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a b 时， c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x 2 y 2 a 。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意：椭圆 x 2 y 2 1的图像中线段的几何特征（如下图）： a 2 b 2 PF1 PF 2 2 ( PF1PF22a) (PM1PM2 2a ) PM 1 e PM 2 c - 2 - 5、椭圆的第二定义： 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数 （|PF| e ）。 d 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形， ①焦点在 x 轴上： x 2 y 2 1（ a＞ b＞ 0）准线方程： x a 2 b2 ②焦点在 y 轴上： y2 x2 1（ a＞ b＞ 0）准线方程： y a2 b2  e，（ 0＜ e＜ 1）的点的轨迹为椭圆 PF1 PF 2 e。 也即上图中有 PM 1 PM 2 a2 c a 2 c 6、椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料，请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝.贝 . “ 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲 ( 详细解答 ) ” 或者搜 .店.铺 ..“龙奇迹【学习资料网】 ” （ 1）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的内部 x02 y02 1 a 2 b 2 a 2 b 2 （ 2）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的外部 x02 y02 1 a 2 b 2 a 2 b 2 四、椭圆的两个标准方程的区别和联系 标准方程 x 2 y 2 1 y 2 x 2 1 (a b 0) a 2 b 2 (a b 0) 2 b2 a 图形 焦点 F1 ( c,0) ， F2 (c,0) F1 (0, c) ， F2 (0, c) 焦距 F1 F2 2c F1F2 2c 范围 x a ， y b x b ， ya 性质 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 ( a,0) ， (0, b) (0, a) ， ( b,0) 轴长 长轴长 = 2a ，短轴长 = 2b - 3 - 离心率 e c (0 e 1) a 准线方程 a 2 a