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人教版九年级下册数学课本知识点总结 第二十六章 反比例函数 一、反比例函数的概念 1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这 一限制条件； 2． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求 出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数 的自变量 ，故函数图像与 x 轴、 y 轴无 交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线， 它有两个分支， 这两个分支分别位 于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例 函数中自变量函数中自变量 x 0 ，函数值 y 0 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远 达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； 1 ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑 的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时， 它的两个分支应全部画出， 但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质 1．函数解析式： （ ） 2．自变量的取值范围： 3．图像： （1）图像的形状：双曲线， 越大，图像的弯曲度越小，曲线越 平直。 越小，图像的 弯曲度越大。 （2）图像的位置和性质： 当 时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而减小； 当 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。 （3）对称性：图像关于原点对称，即若（ a，b）在双曲线的一 支上，则（ ， ）在双曲线的另一支。图像关于直线 对称， 即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲 线的另一支上。． 4．k 的几何意义 2 如图 1，设点 P（a，b）是双曲线 上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点， PB ⊥y 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是 |k| （三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 1/2|k| ）。 如图 2，由双曲线的对称性可知， P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 2|k| 。 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时， 要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 （2）直线 与双曲线 的关系： 3 当 时，两图像没有交点；当 时，两图像必有两个 交点，且这两个交点关于原点成中心对称． 四、实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． 五、充分利用数形结合的思想解决问题 第二十七章 相似三角形 一、图形的相似 1．图形的相似：如果两个图形形状相同 , 但大小不一定相等 , 那么这两个图形相似。 （相似的符号：∽） 性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 2．判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那 么这两个多边形相似。 3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时， 相似的两个图形全等。 二、相似三角形 1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 4 2．判定 . ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相 应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似。 ( ①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等；③两边对应成比例 , 且夹角相 等；④相似三角形的一切对应线段 ( 对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、 内切圆半径等）的比等于相似比。 ) 3．相似三角形应用 视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到 的区域。 4．相似三角形的周长与面积： ①相似三角形周长的比等于相似比。 ②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。三、位似 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的 连线 交于一点 ，对应边互相平行， 那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 ，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中， 如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为 k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于 k 或-k 。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形， 必定是相似图形，