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汪 寅鹏 多维空间的立体角 2018/8/19 1 / 5 多维空间的立体角 立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从 二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。 1. 平面角 我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元可以表示为： ̂ = ̂ ̂ 其中， 的长度近似为 ，设 → 的任意曲线微元（即为直线微元）为 ， 与半径 的夹角为 ，则： ̂ = ∙ sin 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为： = ∫ sin 设dl的法线方向的单位向量为 ，设 与 的夹角为ψ则： ψ = − 2 = ∫ cos = ∫ ∙ 2. 立体角 对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的 曲面积分。 汪 寅鹏 多维空间的立体角 2018/8/19 2 / 5 设曲面的面积微元为 （其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测 点指向面积微元的向量，则在以为半径的球上的投影面积为： ∙ ⊥ = 立体角微元dΩ为： ∙ dΩ = 3 曲面对空间的立体角为： Ω =
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