多面体的外接球与内切球.docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 4 页 多面体的外接球与内切球 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 秒杀秘籍：正方体的外接球与内切球 设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得 （3）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 图 图1 图2 图3 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。例1：在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,求这个球的表面积是: . 解：根据题意可得，位于一个棱长为a的正方体上，故球为正方体的外接球，，故这个球的表面积为 1.设是球面上的四点,且两两互相垂直,若,则球心到截面的距离是 . 2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 . 4.在正三棱锥中，侧棱，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（　　）A． B． C． D． 6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 7.三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（　　） A．48π B．12π C．4π D．32π 秒杀秘籍：长方体的外接球直径为体对角线 设长方体方体相邻的三条的棱长为，求（1）长方体外接球半径； 设长方体方体相邻的三个面面积为，求（2）长方体外接球半径； （2） 例2：（天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。 解：，. 例3：在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为（　　） A．π B． C． D． 解：,，选A。 8.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 9.三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 10.（全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为  cm2. 11.在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为10，5，4，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A．141π B．45π C．3π D．24π 12.（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________. 13.在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（　　）A．24π B．36π C．12π D． 14一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）A．5? B．6? C．2π D．7π? 15.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（　　） A．16π B． C．π D．32π 秒杀秘籍：希尔四面体与长方体 墙角体：如图4，PA、AB、AC两两垂直，以A为墙角体顶点，为长方体切下