难点突破名师讲练：导数与函数、不等式综合问题.docxVIP

PAGE 7 导数与函数、不等式综合问题 1. 导数的定义： 2. 导数的几何意义： （1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率； （2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度； 3.尤其注意：和。 例1 已知函数其中 （Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 一点通：（Ⅰ）把a＝0代入f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f （x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入f （x）中求出切线的斜率，把x＝1代入f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可； （Ⅱ）令f （x）＝0求出x的值为x＝－2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当－2a＜a－2时和②当－2a＞a－2时，讨论f （x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。 答案：（I） （II） 以下分两种情况讨论。 （1）＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 例2 已知函数（），其中。 （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。 一点通：（Ⅰ）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。 （Ⅱ）根据函数f（x）仅在x＝0处有极值说明f （x）＝0仅有x＝0一个根，从而得到答案。 （Ⅲ）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立，从而求出b的取值范围。 答案：（Ⅰ）。 当时，。令，解得， ，。当变化时，，的变化情况如下表： 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在，内是增函数，在，内是减函数。 （Ⅱ），显然不是方程的根。 为使仅在处有极值，必须成立，即有。 解此不等式，得。这时，是唯一的极值。 因此满足条件的的取值范围是。 （Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立。 当时，；当时，。 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当， 即，在上恒成立。所以，因此满足条件的的取值范围是。 例3．已知函数 （I）求在区间上的最大值 （II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 一点通：（I）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中一动一定的问题，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边。 （II）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时，一般是构造新函数，将题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果。 答案：（I） 当即时，在上单调递增， 当即时，当时，在上单调递减， 综上， （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 因为 所以， 当时，是增函数；当时，是减函数； 当时，是增函数；当或时， 于是， 当充分接近0时，当充分大时， 因此，要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 例4 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线。 （I）求a、b的值，并写出切线的方程； （II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。 一点通：（I）利用曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）＝g（2）＝0，f （2）＝g （2）＝1。即为关于a、b的方程，解方程即可。 （II）把方程f（x）＋g（x）＝mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系，再把f（x）＋g（x）＜m（x－1）恒成立问题转化为求函数f（x）＋g（x）－mx在x∈[、]上的最大值问题，综合在一起即可求出实数m的取值范围。 答案：（I），由于曲线与在点（2，0）处有相同的切线l，故有，由此解得：； 切线的方程： （II）由（I）得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有 ，则：； 又，所以函数在上的最大值为0，于是当时对 任意的，恒成立；综上：的取值范围是。 1.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝＋2x＋b（b为常数），则 f（－1）＝