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二次函数之最值问题研究 成都市天府新区籍田中学 吴磊 【教学目标 】 建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值； 【教学重点 】 根据题意建立数学模型运用适当的数学思想方法解决问题； 【教学难点 】 建立二次函数的数学模型，运用数学思想方法解决问题； 一、知识回顾 求最值问题的基本解题步骤： 1． 审题 ．读懂问题，分析问题各个量之间的关系； 2． 列数学表达式 ．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式； 3．求值 ．利用顶点坐标公式 b 4 ac b 2 （对称轴法）或配方法求得最值； , 2 a 4 a b 2 对称轴法： （1）把 x 代入 y ax bx c 即可求出其最值； 2a b （2 ）自变量不能够取得 x 时， 2 a ①当 a 0 时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当 a 0 时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大 . 配方法 ：将二次函数 y ax2 bx c 转化为 y a (x h)2 k 的形式，对称轴为 x h ． (1)当 a 0 时， y 有最小值，即当 x h 时， y最小值 =k ； (2)当 a 0 时， y 有最大值，即当 x h 时， y最大值 =k ． 4 ．检验 ．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的 自变量的取值范围 ） 二、分类问题处理 : 第一类 常规求最值问题 2 2 【例1 】 （1） 抛物线 y= x －4x ＋21 的最小值是（ ） 3 A.21 B. －21 C. 15 D. －15 （2 ）二次函数 y x2 8x k 1 的最小值是 5 ，则 k 的值是（ ） A.22 B －22 C.21 D. －21 〖变式训练〗 1 2 （1）抛物线 y x 4x 3 的最大值是（ ） 2 A.3 B. －3 C. -11 D.11 （2 ）抛物线 y x 2 4ax 的最大值是（ ） 2 2 A. 4a B. 4a C.4 D.-4 第二类 含自变量取值限制的求最值问题 【例 2 】 （1）二次函数 y x 2 4x 5 ，求当 6 x 1的最值。 2 练习： 1、二次函数 y x 6x 14 ，求当 1 x 9 的最值。