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高中数学选修 2-2 知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 y f f ( x2 ) f (x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x x2 x1 x 注 1：其中 x 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念 : 函数 y f ( x) 在 x x0 处的瞬时变化率是 lim y f (x0 x) f (x0) x lim x ， x 0 x 0 则称函数 y f ( x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 y f (x) 在 x 0 处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x0 ，即 f (x0 ) = lim y f (x0 x) f ( x0 ) lim x . x 0 xx 0 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 (1) y c y 0 (2) y xn n N * y nxn 1 (3) y ax a 0,a 1 y a x ln a (4) y ex y ex (5) y loga x a 0, a 1, x 0 y 1 x ln a (6) y ln x y 1 x (7) y sin x y cos x (8) y cos x y sin x 6、常见的导数和定积分运算公式 :若 f x ， g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 f (x) g( x) ( x) g (x) f f (x) g (x) f (x) g(x) f (x) g ( x) 积的导数运算 特别地： Cf x Cf x f (x) ( x) g (x) f ( x) g ( x) f g(x) 2 (g ( x) 0) g( x) 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理  特别地： 1 g ( x) g x 2 x g yx yu ux b x dx F(a)--F(b) a （其中 F x f x ） b b b 和差的积分运算 积分的区间可加性  [ f1(x) 特别地： b f (x)dx a  f2 ( x)]dx f1(x)dx f2 ( x)dx a a b b kf ( x)dx k f (x)dx(k为常数 ) a a c ( ) b ( ) (其中 ) f dx f a c a c .用导数求函数单调区间的步骤 : ①求函数 f(x)的导数 f (x) ②令 f (x) 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③令 f (x) 0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； [注 ]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 求函数 f(x)的导数 f (x) (3)求方程 f (x) =0 的根 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， 检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如 果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤 :求 f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f (x) 在 a, b 上的极值； ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 :分割 近似代替 求和 取极限 （ “以直代曲 ”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质 1 b b a 1dx a 性质 5 若 f (x) 0, x a,b ，则 b 0 f ( x) dx a b f2 (x) f m( x)]dx b b b ①推广： [ f1 (x) f1( x)dxf2 (x)dx f m (x) a a a a b f (x)dx c1 c2 b ②推广 : f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx a a c1 ck 11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取 负值，还可能是 0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值 取正值，且等于 x 轴上方的图形面积； （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的 值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数