小学奥数《容斥原理》(同步语音)精编版.pptVIP

小学数学 容斥原理 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理（第一讲） 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 15+12-4=23（人） 数学 语文 15 4 12 数学和语文 容斥原理 上题中语文满分人数是12，数学满分人数是15，一门满分的人数应该是27，但我们重复计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减去4，答案就是23 结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类或B类事物个数= A类事物个数+ B类事物 个数—既是A类又是B类的事物个数。 某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？ 41+34-27=48人 41 27 34 试一试： 一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人，订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？ 15+10-6=19人 15 6 10 （2）两种报纸都没订阅的有多少人？ 45-19=26人 容斥原理 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 能被3整除的个数： 1000÷3=333个···1 能被5整除的个数： 1000÷5=200个 能被3和5整除的个数： 1000÷15=66个···10 所以根据容斥原理，能被3或5整除的数共有： 333+200-66=467个 不能被3或5整除的个数： 1000-467=533个 试一试： 某校选出50名学生参加区作文比赛和数学竞赛，作文比赛获奖的有16人，数学比赛获奖的有12人，有5人两项比赛都获奖了。 （1）共有多少人获奖？ 16+12-5=23人 （2）两项比赛都没获奖的有多少人？ 50-23=27人 试一试： 习题 1、四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？ 25+23-19=29人 40-29=11人 2、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 100-10=90人 75+83=158人 158-90=68人 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？ 35+28-20=42人 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？ 69+52-30=91人 91+12=103人 5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问：两样都不会的有多少人？ 50-5=45人 23+35-45=15人 6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有多少人？ 27+18-10=35人 48-35=13人 容斥原理（第二讲） 某校六（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？ 25+22+34 -12-18-14+8=45人 足球 排球 游泳 如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1) A+D+E+G =25；(2) B+D+F+G =34；(3) C+E+F+G = 22；(4) D+G =18；