指数函数的应用论文.docVIP

【标题】指数函数的应用 【作者】付小勇 【关键词】指数函数??应用??模型 【指导老师】王玲芝 【专业】数学与应用数学 【正文】1?引言????指数函数在中学就已经学过，但在解决具体问题时，人们往往忽略了它，事实上，指数函数在各个领域都有非常广泛的应用,尤其是函数?的应用更为广泛。在教学过程中，若能及时启发学生分析和运用它，将有利于加深他们对知识的体验；有利于转变他们固有的思维方式，发挥他们的潜能，促进其个性发展；有利于提高他们的科学素养，适应未来社会的需要。2?预备知识2.1定义????设函数?在区间?-∞，+∞?上有定义，且满足：????（1）?????（2）?则称?为以?为底的指数函数.2.2重要性质?????指数函数?在实数域即?上有如下重要性质：?????(1)?极限?不存在，但单侧极限??????(2)??????（3）?的幂级数展开式为?，且收敛3?应用3.1在高等数学中的应用3.1.1?性质1在极限的连续性及其解中的应用由于?不存在，而单侧极限?,在含指数函数的极限中通常要进行讨论，这一点是容易忽视的。例1??讨论??的连续性.解：当?????????????????????????当?时,??????当???????????????????????????即???显然???.3.1.2?性质2在微积分学以及微分方程中应用函数?的任意有限阶导数都等于它自身，这是初等数学中除常量函数?以外，?所特有的性质.正是这种性质，在高等数学的计算和证明中有着广泛的应用。3.1.2.1微积分学中的应用应用微分中值定理及导数性质证明等式（或方程的根）及其它问题时，应用这个特性作辅助函数或作恒等变形，进行证明。例2??设?和?在区间?上连续，在?内可导，且?，证明：至少存在一点?，使得?.分析：先变形，等式两边乘以?则有：?设有某一个?，使?，则?？因为??所以看出?.故令?为辅助函数.证明：令?由已知，?在?上连续，在?内可导，且?于是，由Rolle定理，至少存在一点?，使得?即?从而???.????此题题目还可以是：证明方程?在(a,b)内至少有一实根，其证明过程和上面一样。例3??证明：若?在?内可导，且?，则?.分析：为了找到?与?之间的关系，联想到利用?的特性，并结合运用Cauchy中值定理，故先作辅助函数?，显然?证明：令?由已知?即?，?，使得?，有︱?︱?又对?，由Cauchy?中值定理,有：?????即???????所以???即??｜?｜?｜?｜??｜?｜?显然???即?，使得?，有?，且?于是???有｜?｜?｜?｜?｜?｜?即???.3.1.2.2积分学中的应用在不定积分（或定积分）的分部积分时，应用这个特性，采取“回归法”，化简计算。例4??求?.分析：此题显然是用分部积分法计算，且要反复进行分部.我们先分析分部的情况：?将?积分、?微分?将?积分、?微分?可得被积函数的原来形式。故可通过方程的移项，解出原积分?.解：?=????????????????=????????????????=?移项并解得??=?.点评：此题也可将?微分、?积分.对于?也同理可解.这里充分利用了函数?的这个特性。在不定积分（或定积分）的分部积分时，应用这个特性，采取“抵消法”，化简计算。例5??求?.分析：此题若直接分部，比较困难，应先把括号去掉，拆项积分，又因为被积函数有因子?，故应充分利用函数?的特性。?解：?=??????????????????=??????????????????=??????????????????=?.在用不定积分的换元法（凑微分法）时，应用这个特性，凑微分，化简计算。例6??求?.解：?=?=?=?㏑?.3.1.2.3微分方程中的应用应用函数?的这个特性，求二阶变系数线性微分方程的解，其求解过程是先求对应的齐次线性方程的通解，再用常系数变易法求原方程的通解。例7??解方程?.解：先解齐次方程?由于齐次方程中的各系数的代数和为0，而?的各阶导数不变，所以?是方程的一个特解.为求另一个特解，令?代入齐次方程，得?，再积分得?（取一个特解），?，故另一个特解为：?.再利用常系数变易法求得非齐次方程的特解为：?则满足?解此方程组得：?所以??????????????即??????????????于是，所求方程的通解为：?.结论：若?，则二阶变系数线性微分方程?有一个特解为?。实际上，由性质2易知该结论成立，在求解线性微分方程时，要注意应用指数函数的这个特性，这样可使求解简易！函数?的这个