线性代数自学简明教程总杨荫华.docVIP

7 - 第一章 行列式 1 - 线性代数 自学提纲 线性代数 第一章 行列式 自学提纲 一、2.、3阶行列式 1、何谓2、3阶行列式？它们从何而来？ 2、2、3阶行列式算法。 二、n阶排列 1、何谓n阶排列？ 2、何谓逆序？怎么统计一个n阶排列的逆序数N（，，…，）？ 3、何谓奇排列？何谓偶排列？任意对换排列中的某两个数，排列的奇偶性改变吗？ 4、由自然数1，2，3，…，n能构成多少个n阶排列？ 5、当n2时，全部n阶排列中有多少个奇排列？多少个偶排列？ 三、n阶行列式定义 1、何谓n阶行列式？它有多少项？每一项是哪些元素的乘积？怎么确定乘积前面的正、负号？ 2、注意：2、3阶行列式的对角线算法对于n4阶行列式已不适用。 3、何谓上（下）三角形行列式，它的值怎么计算？ 四、行列式性质 1、行列式有哪些性质？试以数字的2阶行列式为例，说明各性质含义。 2、怎么用行列式性质，把一个行列式化成上（下）三角形行列式，加以计算？ 五、行列式按一行（列）展开 1、何谓行列式中元素的余子式？代数余子式？ 2、写出行列式按第i行展开公式；写出行列式按第j列展开公式。 3、会按任一行（列）展开计算行列式。 六、克莱姆法则 1、克莱姆法则有哪些前提条件：有哪些结论？ 2、会用克莱姆法则解释符合法则条件的线性方程组。 3、何谓齐次线性方程组？齐次线性方程组一定有解吗？ 4、方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组有非零解的条件是什么？ 内部资料 数学是研究客观世界空间形式与数量关系的科学。它来源于实践，其高度抽象性决定了广泛应用性。“ 数学是研究客观世界空间形式与数量关系的科学。它来源于实践，其高度抽象性决定了广泛应用性。 “代数”可以初等地解释为“用字母代表数”，它只有“加法”和“数量乘法”（简称“数乘”）两种运算。由于直线方程y=kx+b只含这两种运算，是一次方程。因此，加法和数乘统称为线性运算或一次运算。本课程也称为线性代数或一次代数。 为便于学院理解大纲所要求的基本概念、理论，掌握算法，据杨萌华编《线性代数》（北京大学出版社2004年3月第1版）编写本教程。 第一章 行列式 简明教程 一、2、3阶行列式 用加减消元法解二元一次方程组，为便于记忆解公式，引入定义1.1.1 记号 称为2阶行列式，它表示代数和－，其中（i，j=1,2）称为位于第i行第j列的元素。 算法：主对角线上的两个元素，的乘积减去次对角线上两个元素，的乘积。 例1.1.1 =14－(－3)2=10, ==20, == 。 从而有定理1.1.1 二元一次方程组 当乘数行列式 0 时，有惟一解： = , = 例1.1.2 解方程组 解：系数行列式 D==100， 有惟一解： ===2 ,= ==-1。 用加减消元法解三元一次方程组，为便于记忆解公式，引入定义1.1.2记号 称为3阶行列式，它表示代数和 ++ －－－。 算法：主对角线方向三个乘积之和减去次对角线方向三个乘积之和，如下图： ++ －－－ 例1.1.3 =42(－2)+5(－1)3+(－3)10－4(－1)0－51(－2)－(－3)23 =－3 =++ －－－ =－6 = =3 ＝ ＝ 从而有定理1.1.2 三元一次方程组 当系数行列式 D＝0 时，有唯一解： =, =, =。 例1.1.4 解方程组 解：系数行列式 ＝－30， 方程组有惟一解： =＝＝2， =＝＝－1， =＝＝3。 例1.1.5 解方程 （1）＝0 解：＝（－3）（＋1）－（－1）（－5） ＝－2－8 ＝（＋2）（－4） ＝0 所以方程有两个实根：＝－2，＝4。 （2）=（+1）（－3）（－2）－(－1）4（－2） =（－2）(－2－3+4)