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圆的基本概念和性质—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性； 2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有 关的概念，理解概念之间的区别和联系； 3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯 . 【要点梳理】 要点一、 圆的定义及性质 1. 圆的定义 (1) 动态： 如图，在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA叫做半径 “圆 O”．  .  O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作 要点诠释： ①圆心确定圆的位置， ②圆是一条封闭曲线 . (2) 静态： 圆心为 O，半径为  半径确定圆的大小； 确定一个圆应先确定圆心， 再确定半径， 二者缺一不可； r 的圆是平面内到定点 O的距离等于定长 r 的点的集合 . 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是 球面，一个闭合的曲面 . 圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴 . 或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴 . 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径” ，而应该说“圆 的对称轴是直径所在的直线” . 两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心 线） . 要点二、 与圆有关的概念 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径 . 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 . 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径 . 为什么直径是圆中最长的弦？如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 中任意一条弦，求证：  AB ≥ CD. 证明： 连结 OC、 OD ∵AB=AO+OB=CO+OD ≥ CD( 当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“ =”号 ) ∴直径 AB 是⊙ O 中最长的弦 . 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 .以 A 、 B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 . 要点诠释： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧 . 3.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 . 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆 .同圆或等圆的半径相等 . 等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧 . 要点诠释： ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等 . 【典型例题】 类型一、圆的定义 1．在下列说法中：①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③半径相等的圆是同心圆；④两 个半径相等且圆心不同的圆是等圆，你认为正确的结论有（ ） A.1  个  B.2  个  C.3  个  D.4  个 【答案】  C. 【解析】 对照圆的定义及同心圆、等圆的概念进行判断  . 显然①②④正确，③不正确  . 【总结升华】 考查确定圆的条件，同心圆、等圆的定义 . 举一反三： 【变式】下列命题中，正确的个数是（ ） ⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆  ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧  . A.1  个  B.2  个  C.3  个  D.4  个 【答案】 ⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的  . 故选  C. 类型二、圆及有关概念 2．判断题 ( 对的打√，错的打×，并说明理由 ) ①半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ ） ②弦是直径；（ ） ③长度相等的两段弧是等弧； （ ） ④直径是圆中最长的弦 . （ ） 【答案】 ①√ ②× ③× ④√ . 【解析】 ①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确 . 【总结升华】 理解弦与直径的关系，等弧的定义 . 举一反三： 【变式 】下列说法错误的是 ( ) A. 半圆是弧 B. 圆中最长的弦是直径 C.