一元二次方程基本概念.docxVIP

一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式， 只含有一个未知数（一元） ，并且 未知数的最高次数是 2（二次） 的方程 （等式） ，叫做 一元二次方程 ． 一般地， 任何一个关于 x 的一元二次方程， ?经过整理， ?都能化成如下形式 2 ax +bx+c=0 （a≠ 0）．这种形式叫做一元二次方程的 一般形式 ． 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0 （ a≠ 0）后，其中 ax2 是二次项， a 是二次 项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法 : 由应用直接开平方法解形如 x2=p（p≥ 0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法解 形如（ mx+n ） 2=p（p≥ 0），那么 mx+n= ± p ，达到降次转化之目的． (2).配方法： 左边不含有 x 的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有 x 的完 全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→ 2- x 64x=-768 两边加（ 64 ） 2 使左边配成 x2 +2bx+b 2 的形式 → x2-64x+32 2=-768+1024 2 左边写成平方形式 → （ x-32） 2 =?256 ? 降次→ x-32= ± 16 即 x-32=16 或 x-32=-16 解一次方程→ x1=48， x2=16 可以验证： x1=48 ，x2 =16 都是方程的根 例 1．解下列方程 （ 1） x2+6x+5=0 （ 2） 2x2+6x-2=0 （ 3）（ 1+x ） 2+2（1+x ） -4=0 分析： 我们已经介绍了配方法， 因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方． 2 解：（ 1）移项，得： x +6x=-5 配方： x2+6x+3 2 =-5+3 2（x+3 ） 2=4 由此可得： x+3= ± 2，即 x1=-1 ， x2=-5 2）移项，得： 2x2+6x=-2 二次项系数化为 1，得： x2+3x=-1 配方 x2+3x+ （ 3 ） 2=-1+ （ 3 ） 2（ x+ 3 ）2= 5 2 2 2 4 由此可得 x+ 3 =± 5 ，即 x1= 5 - 3 ， x2=- 5 - 3 2 2 2 2 2 2 2 （ 3）去括号，整理得： x +4x-1=0 2 移项，得 x +4x=1 2 配方，得（ x+2） =5 x+2= ± 5 ，即 x1= 5 -2， x2=- 5 -2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． 1）移项； 2）化二次项系数为 1； 3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； 4）原方程变形为（ x+m ）2=n 的形式； 5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 3）公式法： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠ 0）且 b2-4ac≥ 0，它的两个根 x1= b b2 4ac ， x2= b b2 4ac 2a 2a 解：移项，得： ax2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x2+ b x=- c a a 2 b b ） 2 c b 2 配方，得： x + x+ （ =- +（ ） a 2a a 2a 即（ x+ b ） 2= b2 4ac 2a 4a2 b2-4ac≥ 0 且 4a20 b2 4 a c ∴ ≥0 4a2 b2 4ac 直接开平方，得： x+ =± 2a 2a b b2 4ac 即 x= 2a b b2 4ac ， x2= b b2 4ac ∴ x1= 2a 2a 由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根由方程的系数 a、 b、c 而定，因此： （ 1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 2 ax +bx+c=0 ，当 b-4ac≥ 0 时， ? 将 a、 b、 c 代入式子 x= b b2 4ac 就得到方程的根． 2a 2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．