第17讲 勾股定理和勾股数组.docVIP

PAGE PAGE 10 第17讲 勾股定理 几何学有两大珍宝，其一是毕达哥拉斯定理，另一个是分一线段为中外比。前者我们可比之为黄金，后者，我们可称之为贵重的宝石。 ???????????????? ——开普勒 知识方法扫描 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：即如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。 勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用。它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算是一种重要的数学方法。 勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直。 经典例题解析 例1．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2． 分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形 的斜边，因此考虑从勾股定理入手． 证明 由勾股定理得 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2， 所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2 例2．（1988年上海市初三数学竞赛题）如图，在凸四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是_____ ． 解 连结AC，设AB=2k，则BC= 2k，CD=3k，DA=k. 在Rt△ABC 中， 在△ACD中．, 例3．（2001我爱数学初中生夏令营试题）点D、E分别为△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE＝2AB，AE＝13，BD＝9，那么，AB的长等于________。 解 由DE∥AB，得 记＝k，＝m，则有 CE＝2k，CB＝3k，CD＝2m，CA＝3m。 因∠C为直角，故由勾股定理，得 CE2＋CA2＝AE2，CD2＋CB2＝BD2，即 两式相加，有k2＋m2＝ 因此AB2＝BC2＋CA2＝9k2＋9m2＝ 于是AB＝ 评注 设比例因子k与m，可使线段用长度表出，以便利用勾股定理求出线段之长。 例4．(2003第1届“创新杯”数学邀请赛试题)在直角三角形ABC中，∠C=90o，I是ΔABC的三条内角平分线的交点，过I作ID⊥AB于D，若BD=m，CD=n，那么ΔABC的面积为 . 解 因I是ΔABC的三条内角平分线的交点，故I到三边 的距离相等，作IE⊥AC，IF⊥BC，显然△AID≌△AIE，△BID≌△BIF，△CIF≌△CIB，于是BF=BD=m, AE=AD=n. 设 CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r) 2+(m+r) 2=(m+n) 2. 化简得 r2+mr+nr=mn. ΔABC的面积=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn. 例5．( 2003年北京市中学生数学竞赛试题)一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长。 解 设a，b分别为两个直角边，则斜边c=，由于a,b,c均为正整数，所以a≠b，不妨设ab. 依题意有 a+b+=， 两边平方整理得：， 消去ab，得。即 (a-4)(b-4)=8=8×1=4×2。 由于a,b为正整数，ab, 则或 所以a=12, b=5, c=13或 a=8, b=6, c=10. 例6．（2002年上海初中数学竞赛试题）若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是________。 解 设Rt△ABC（∠C＝90°）的两直角边BC＝a，AC＝b，则BC边上的中线长为，AC边上的中线长为，依题意，得 m＝＝， 即m2＝，亦即＞0。 所以（4m2－1）（m2－4）＜0，解得＜m2＜4，故＜m＜2。 例7．如图,AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)． 证明 过A引AD⊥BC于D．由勾股定理， AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BM?MD+MD2 AC2=AD2+CD2=AD2+(MC-MD)2= AD2+MC2-2MC?MD+MD2． 注意到 BM=CM， 故 AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)． 评注 (1)如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式． , , (2)涉及到含有线段的平方证明题，在初二的学习范围内，多是用勾股定理作为工具来证明的。在解答此类问题时所用的辅助线，最常用的是作三角形的高，有时还要用到某些几何变换，如平移，旋转，对称等等。 例8