树上的Markov映射的逆极限.pdfVIP

序言 设x为拓扑空间，f：X—x为连续映射．人们关心，的逆极限空间 lira fx，．f的拓扑结构的刻画主要基于以下两个原因．其一是出于研究曲丽 同胚的动力性质的考虑．1967年，R．F．Williams证明了，如果曲面同胚F 具有满足某种性质的一维双曲吸引子A、则F限制在A上与某一有限图X 上的逐段单调的连续映射，的逆极限空间lim{x，，)的诱导同胚，拓扑共 轭(见f11)随后，许多结论(见[2．4”显示一维连续统的逆极限常可作为耗散 动力系统中的吸引子．其二是出于研究映射自身的动力性质的考虑．，的某 些动力性质往往与其逆极限空间lira{x，，}的某些动力性质彼此蕴含．例 如，在X为有限图且，逐段单调的假定下，其逆极限空间lim{x，，}是遗 传可分解的当且仅当，具有零拓扑熵(见f111)． 近年来，基于以上两个原因，众多学者对逆极限的拓扑结构进行研究得 到了许多结论．1985年Barge和Marin证明了：如果一个闭区间上的连续 自映射具有正拓扑熵，则其逆极限空间含有不可分解子连续统(见[14】)．这 个结果在[11，13】中已分别推广到图上和遗传可分解可链体上的连续自映 射．Barge，Diamond，Brucks在【量7]中描述了区间上帐篷映射的逆极限的 拓扑结构．2002年SarahE．Holte在f81中研究了区间上的Markov映射的 逆极限的拓扑结构．指出区间上具有相同Markov类型的Markov映射的逆 极限同胚．1995年w．T．Ingram在f151中明确地刻画了区间上满足一定条 件的单峰映射的逆极限的拓扑结构．随后，2002年Ingram又在f91中通过 {1，2，．--，n)的iq元排列口与10，1]中的点{o=n1，02，·．．，a。=1)之间的 对应关系，构造出一类特殊的Markov映射厶，并明确地刻画了n=3，4，5 时所对廊的的这类Markov映射的逆极限的拓扑结构． 本文对树丁上的Maxkov映射的逆极限的拓扑结构进行了研究．文章第 二部分结合关联矩阵的特点，用代数方法给出了逆极限不可分的一个充分 条件和逆极限同胚于树丁的一个充分条件，以及逆极限是一拓扑射线R趋 于一连续统M的一个充分条件，并给出了该逆极限含有不可分子连续统的 ～个充分条件．文章第三部分构造了i2一星形树上的一类特殊的Markov映 射，并明确刻画了3一星形树Y上这类Markov映射的逆极限． 3 第一章 一些预备知识和引理 非空紧致连通的度量空间称为连续统一个连续统被称为可分解(彳i可分 解)的．如果它能(不能)被表示成它的两个真子连续统之并．一个连续统被称 为是遗传可分解的，如果它的每一个非退化的子连续统是可分解的． 假设置为拓扑空间，^：Xi十1一托为连续映射(i=1，2，…)，“二元 序列”{K，^}罢1称为逆序列，五称为坐标空间，映射^称为约束映射． 定义1若逆序列{置，^)墨l对每个i∈N都满足： (1)置是连续统； (2)对任何满足置+1=AⅢUBⅢ的子连续统A州，鼠+1，有A(A州) 墨与^(最+1)=五至少其一成立，此时称{x。，^攉1是1i可分逆序列． 逆序列{Xi，^)墨。的逆极限定义如下 X^ = ∈ 鼍 ^ + 二垂l，【 -}∞!i ，【 扛 ∞捧 扛 。。Vi∈Ⅳ) ∞Ⅱ：I 特别的，当x=五，，=^(i=1，2，…)时，将墅{墨，^)墨1记作： lim{X，，)，简称为X上的映射，的逆极限．映射，：lim{X，，)一Iim{X，n ，(z，，z。，…)=(，∞。)，茁1，z2，．．．)称为诱导同胚以7r。：lim{X，f)一 X，7rn(gl，z2，…)=z。表示第n个投射，显然7r。连续． 引理1若逆序列{墨，^)墨，的每个坐标空间五是连续统，则 lim{X|f，^’墨l也是连续统l见[io，pl驯． 引理2不可分逆序列的逆极限是不可分解的连续统阻肛口Jp2』∥． 以，‘表示，的k次复合，则有以下结论 引理3 J∥ lim{X，f)掣lim{X，fk)阻口2推论j，z 如果坐标空间五(i=