使用Maple求解微分方程三.pptVIP

第十五讲 微分方程实验指南(1) 高等教育电子音像出版社 本节内容提要 一、数学实验概述 二、使用Maple求解微分方程 三、方向场与积分曲线 四、欧拉折线法与数值解 本讲参考文献 实际上, 在dsolve命令中指定参数method=classical [foreuler], 即可按Euler方法求数值解。在下面的例子中, 选用不同的步长按Euler方法求同一微分方程的数值解, 并用图示比较所得结果: * 宁波大学 陶祥兴等 编 一、数学实验概述 二、使用Maple求解微分方程 三、方向场与积分曲线 四、欧拉折线法与数值解 1. 什么是数学实验 所谓“数学实验”, 就是从问题(数学本身的问题或实际应用问题)出发, 借助计算机, 通过学习者亲自设计与动手操作, 学习、探索和发现数学规律, 或运用现有的数学知识分析和解决实际问题的过程。换言之 “数学实验”就是学习者自主探索数学知识及其实际应用的实践过程。 2. 数学实验的作用 (1)借助软件验证数学知识与结论, 加深对数学概念与数学理论的理解和认识(比如应用软件的图形和动画等直观、可视化功能)。 (2)借助计算机自主探索数学问题的求解方法,自行发现数学规律 (应用计算机的数值计算、符号计算及推理功能等) 。 (3)应用数学知识、借助计算工具, 探索解决实际应用问题, 以提高数学素养、培养创新能力。 3. “数学实验”与“数学建模” “数学实验”与“数学建模”, 均以创新能力培养为目标, 但侧重点不同, 数学建模强调在“应用”数学的过程中培养能力, 而数学实验旨在引导学习者借助数学软件理解抽象的数学理论、自主探索和研究数学问题以及数学的应用问题的过程, 强调在“探索”过程中学习数学并培养能力。因此, 它们的特点和区别是： 数学实验= 探索＋创新; 数学建模= 应用＋创新 1. 在Maple中表示微分方程 在Maple中, 表示一个微分方程较好的方法是用Maple的赋值语句为其指定一个惟一的名字。比如: 在Maple中因变量必须连同它的自变量一起出现, 即x(t)不能简写为x 使用ode表示微分方程 x?(t) = k x(t) 其中diff是求导命令 2. 使用dsolve命令求解微分方程 使用Maple的dsolve命令可以得到微分方程的解。如果指定初始或边界条件, Maple将尝试找到一个特解; 否则将给出一般解。 求解结果中_C1表示自由常量 通过添加初始条件得到特解 3. 绘制解曲线 dsolve命令得到的解, 系统以等式形式显示, 可使用unapply命令将其转换为函数形式。之后, 就可以使用绘图命令(比如plot)绘制解曲线, 比如: 左图是一个特解的曲线。可以将一组解曲线(解曲线簇)绘制在一起, 见下页图示。 assign命令用来将一个等式转换为一个赋值. 4. 求解微分方程组 Maple的dsolve命令可用来求解微分方程组, 通常可以得到解析解, 当无法得到精确解时(特别是高阶非线性微分方程组), 可尝试求其数值解。 红色曲线表示 x(t),绿色曲线表示 y(t) 随着t的增大, 方程组的解围绕在一个半径为1的圆上(此圆通常称为极限圆) 取不同的初值条件, 方程组的解同样围绕在半径为1的圆上(极限圆又称极限环) Lorenz微分方程产生吸引子(紧紧地把解的图形吸在一起) 1. 方向场: 对于形如dx(t)/dt=f(t, x)的微分方程, 可在没有求得其精确解的情况下, 用绘图的方式得到解的一些信息。这是因为, 若得到解曲线上的一些初始数据, 比如初始条件或边界条件(t0, x0), 就可找到上述方程的解x(t)在该点的斜率 f(t0, x0). 若找到的点数足够多, 则在相关区域内可以看出微分方程解的趋势。如此绘出的图形称为它的方向场(direction field)。 Maple在程序包DEtools中提供了命令dfieldplot(), 用来绘制微分方程的方向场, 这将有助于直观地了解微分方程解的趋势, 参见下面的例子: 2. 方向场与积分曲线动画 1. 欧拉方法 对于如下的微分方程初值问题 dy/dx=F(x, y(x)), y(x0)=y0 欧拉方法可用下述递推公式表示 xn+1=xn+h, yn+1=yn+hF(xn, yn). 下面的Maple程序Euler0是欧拉算法的一个实现, 其中函数F, 初始时刻x0, 初始位置y0, 步长h, 步数N是程序参数。 使用程序Euler0求解微分方程初值问题{ dy/dx = ?2y, y(0)=1 } 的近似解. 求解微分方程 dy/dx=1+(y?x)2 的近似解, 初值为y(0)=0.5 上面的Maple程序Euler0在使用时有不便之处, 比如它以右侧的函数F为参