高考数学母题：参数方程抛物线试题的统一解.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 587 [中国高考数学母题](第171号) 参数方程.抛物线试题的统一解 利用抛物线的参数方程,可把抛物线上任意一点P的坐标,用只含一个参数t表示,这为形成解决抛物线试题的统一程 序化方法提供了有力的手段. [母题结构]:(参数方程):抛物线y2=2px(p0)(参数t∈R);当t≠0时,参数t的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. [母题解析]:如图,设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点,直线OM的倾斜角为α,则y=xtanα,联立 y2=2px得:x=,y=,令t=,则y2=2px(p0);同理可得:x2=2py(参 数t∈R);利用抛物线参数方程,可统一解决抛物线试题,其程序是:①利用参数方程,巧设抛物线一点的坐标;②利用A、P、B三点共线∥,转化三点共线的条件或结论;③利用点的坐标思想,解决问题. 1.巧妙设点 子题类型Ⅰ:(2013年陕西高考试题)己知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q.若x轴是∠PBQ的角平分线,证明:直线l过定点. [解析]:(Ⅰ)如图,设动圆的圆心O1(x,y),由|O1A|=|O1M|,作O1H⊥MN交MN于H,则H为MN的中点 |O1M|2=|O1H|2+|MH|2=x2+16,又|O1A|2=(x-4)2+y2(x-4)2+y2=x2+16y2=8x轨迹C:y2=8x; (Ⅱ)设P(2a2,4a),Q(2b2,4b),则kPQ=(a+b≠0)直线PQ:y-4a=(x-2a2),即:(a+b)y-4ab=2x; 由x轴是∠PBQ的角平分线kBP+kBQ=0+=0(2ab+1)(a+b)=0直线PQ:(a+b)y+2=2x过定点(1,0). [点评]:利用参数方程,巧设抛物线一点的坐标:①观察系数,先巧设抛物线方程中有平方项的变量;②代入抛物线方程中,求另一变量,即得点的坐标. [同类试题]: 1.(2016年高考全国乙卷试题)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求;(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. 2.(2011年安徽高考试题)设λ0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ, 经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程. 2.共线转化 子题类型Ⅱ:(2016年高考全国丙卷试题)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴 的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. [解析]:(Ⅰ)设A(2a2,2a),B(2b2,2b),则P(-,2a),Q(-,2b)R(-,a+b),由F(,0)=(2a2-,2a),= (2b2-,2b);由F在线段AB上∥(2a2-):(2b2-)=a:b4ab=-1kAR=-2b=kFQAR∥FQ; 588 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 (Ⅱ)由S△PQF=|a-b|,S△ABF=|a-b||2ab+|,S△PQF=2S△ABF4ab+1=-12ab=-1;设AB的中点T(x,y),则x=a2+b2,y=a+by2=a2 +b2+2ab=x-1AB中点T的轨迹方程:y2=x-1. [点评]:对于抛物线上两点A,B与点P共线:①设出点A,B的坐标;②用A、P、B三点共线∥,把A、P、B三点共线,转化为坐标中的系数关系,从而为解决过一点的直线与曲线交于两点的问题提供了有力手段. [同类试题]: 3.(2016年浙江高考试题)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于 |AF|-1.(Ⅰ)求p的值; (Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与 x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 4.(2011年江西高考试题)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(Ⅰ)求该抛物线的方程; (Ⅱ)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 3.坐标思想