高考数学母题：求和递推.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(10-30):求和递推(223) 605 求和递推 [母题]Ⅰ(10-30):(2008年上海春抬试题)已知无穷数列{an}前n项和Sn=an-1,则Sn= . [解析]:由Sn=an-1S1=a1-1;又由S1=a1S1=a1=-; (法一)当n≥2时,由Sn=an-1Sn-1=an-1-1an=Sn-Sn-1=an-an-1an=-an-1an=-(-)n-1Sn=(-)n-1. (法二)当n≥2时,由Sn=an-1Sn=(Sn-Sn-1)-1Sn=-Sn-1-Sn+1=-(Sn-1+1)Sn+1=(-)nSn=(-)n-1. [点评]:数列{an}的前n项和为sn,an与Sn的关系型递推问题是高考命题的热点,对此有:㈠等比数列形母题:①如果sn= Aan+B(n≥1)其中A≠0,1,B≠0,则{an}是等比数列;②如果a1=a且sn=Aan(n≥2),其中aA≠0,A≠1,则{an}(n≥1)不是等比数列,但{an}(n≥2)是等比数列;㈡等差数列形母题:①若an+an+1≠0且2dsn=an2+dan-a(a+d)(n≥1),则an=dn+a或an=dn-d-a;②若2Sn=nan+an且a2=a+d,则an=a+(n-1)d;㈢一般性解法:①相减消元:由Sn=f(an)Sn-1=f(an-1);两式相减,消去Sn得关于an的递推关系式an=f(an)-f(an-1);②代入消元:把an=Sn-Sn-1代入Sn=f(an)可消去an得关于Sn的递推关系式Sn=f(Sn-Sn-1),把Sn视为一个新的数列{Sn}的通项,通过求该数列的通项解决问题. [子题](1):(2012年大纲高考试题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则sn=( ) (A)2n-1 (B)()n-1 (C)()n-1 (D) [解析]:由a1=1,Sn=2an+1a2=a3=;由母题知{an}(n≥2)是等比数列an+1=a2qn-1=()n-1Sn=()n-1.故选(B). 注:由Sn=pan+1Sn+1=(p+1)an+1{an}(n≥1)不是等比数列,但{an}(n≥2)是等比数列. [子题](2):(2012年全国高中数学联赛四川预赛试题)设等比数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=,则S20= . [解析]:由Sn=S1=a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-(an+an-1)(an-an-1-2)=0;①若an-an-1-2=0 {an}是公差为2的等差数列,矛盾;②若an+an-1=0{an}是公比为-1的等比数列S20=0. 注:若2dsn=an2+dan-a(a+d);①当an+an+1≠0时,{an}是等差数列;②当{an}不是等差数列时,{an}是公比为-1的等比数列. [子题](3):(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)对于实数x,[x]表示不超过实数x的最大整数.已知正数数列{an}满足a1=1,Sn=(an+),其中,Sn为数列{an}的前n项和.则[++…+]=( ) (A)17 (B)18 (C)19 (D)20 [解析]:由Sn=(an+)2Sn=(Sn-Sn-1)+Sn2-Sn-12=1Sn===;由 2(-)2(-)2(-1)++…+1+2(10-1)[++…+]=18.故选(B). 注:把基本关系an=Sn-Sn-1与已知Sn=f(an)联立,类似于解方程组,或相减消元,或代入消元. [子题系列]: 1.(2013年课标Ⅰ高考试题)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( ) (A)Sn=2an-1 (B)Sn=3an-2 (C)Sn=4-3an (D)Sn=3-2an 606 [母题]Ⅰ(10-30):求和递推(223) 2.(201