高考数学母题：期望运算.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(21-30):期望运算(624) 1557 期望运算 [母题]Ⅰ(21-30):(2010年课标高考试题)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( ) (A)100 (B)200 (C)300 (D)400 [解析]:设没有发芽的种子数为ξ,ξ=0,1,2,…,1000,则P(ξ=k)=C1000k(1-0.9)k0.91000-kEξ=== =10000.1=10000.1(0.1+0.9)1000-1=10000.1=100;又由X=2ξEX= E(2ξ)=2Eξ=200.故选(B). [点评]:关于数学期望的运算:㈠二项分布与超几何分布数学期望的计算过程;㈡数学期望的性质:①Ea=a,Da=0;②E(aξ+b)=aEξ+b;③若ξ=ξ1+ξ2+…+ξn,则Eξ=Eξ1+Eξ2+…+Eξn. [子题](1):(2009年上海高考试题)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ= (结果用最简分数表示). [解析]:我们来解决一般性问题:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则数学期望EX= ; 由P(X=k)=,k=0,1,2,…,m=min{M,n}EX===CN-1n-1=;本题中,N=7,M=n =2Eξ=. 注:母题的方法可推导出二项分布的数学期望,本题导出的是超几何分布的数学期望,其中涉及到范德蒙等式(见母题(583)).这两个结论具有记忆价值. [子题](2):(2009年北京高考试题)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯停留的时间都是2min.则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的期望= . [解析]:设这名学生在上学路上因遇到红灯的次数为η,则ξ=2η,且η～B(4,)Eη=4×Eξ=2Eη=. 注:求随机变量ξ的数学期望,我们可以寻找一个与基本事件具有本质联系的随机变量η,使得ξ=aη+b,先求Eη,然后根据Eξ=aEη+b,求Eξ. [子题](3):(2009年上海高考试题)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ= (结果用最简分数表示). [解析]:我们来解决一般性问题:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则数学期望EX= . 令随机变量Xi:①当第i次取到次品时,Xi=1;②当第i次取到正品时,Xi=0;则P(Xi=1)=,P(Xi=0)=EXi=0 +1=;而X=X1+X2+…+XnEX=EX1+EX2+…+EXn=++…+=;本题中,N=7,M=n=2Eξ=. 注:若随机变量ξ=0,1,且P(ξ=1)=p,则随机变量ξ称为两点分布,两点分布的数学期望Eξ=p;两点分布在计算数学期望时有广泛应用. [子题系列]: 1.(2012年全国高中数学联赛陕西初赛试题)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应 1558 [母题]Ⅰ(21-30):数学期望(624) 获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为等差的等差数列.则参加这项游戏活动获得奖金的期望是 元. 2.(2013年全国高中数学联赛河北初赛试题)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖),且相应奖项获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应的奖金依次是以700元为首项、-140元为公差的等差数列,则参加此次大赛获得奖金的期望是 元. 3.(2006年四川高考试题)设离散型随机变量ξ可能的值为1,2,3,4.P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b= . 4.(2009年江西高考试题)某公司拟