高考数学母题：定积分的几何意义.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 定积分的几何意义 巧用定积分的几何意义.妙解一类定积分问题 定积分源自于求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积,因此定积分具有较强的几何意义;充分利用定积分的几何意义可妙解一类定积分问题. [母题结构]:(Ⅰ)如果f(x)在区间[a,b]上满足f(x)≥0,则等于直线x= a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积;(Ⅱ)如果f(x)在区间[a, b]上满足f(x)≤0,则等于直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数; [解题程序]:根据定积分的几何意义可妙解圆形函数的定积分、定积分的大小比较、寻找定积分的面积等问题. 1.图形函数 子题类型Ⅰ:(人教版.选修2-2.习题1.5(A组)第4题)试用定积分的几何意义说明的大小. [解析]:根据定积分的几何意义,表示由直线x=0,x=1,y=0以及曲线y=所围成的曲边梯形的面积;由y =x2+y2=1(y≥0),即四分之一单位圆的面积=. [点评]:由定积分的几何意义,一般圆形函数f(x)=的定积分可用圆或弓形的面积求出. 2.大小比较 子题类型Ⅱ:(2013年江西高考试题)若S1=dx,S2=dx,S3=dx,则S1,S2,S3的大小关系为( ) (A)S1S2S3 (B)S2S1S3 (C)S2S3S1 (D)S3S2S1 [解析]:当x∈[1,2]时,exx2x-10,根据定积分的几何意义S3S2S1.故选(B). [点评]:由定积分的几何意义知:若f(x)g(x),则,这为定积分的大小比较提供了依据和方法. 3.面积意义 子题类型Ⅲ:(2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)曲线方程为函数 y=f(x)在区间[0,a]上有连续导数,则定积分=( ) (A)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积. [解析]:由[xf(x)=f(x)+x(x)x(x)=[xf(x)-f(x)==-=xf(x)| -=af(a)-=矩形OBAC面积-曲边梯形OBAD的面积=曲边三角形ACD面积.故选(C). [点评]:本题是定积分几何意义的典型题,解答本题的关键是构造x(x)=[xf(x)-f(x). 4.子题系列: 1.(2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)= . 2.(1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)= . 3.(2012全国硕士研究生入学统一考试数学试题)= . 4.(2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设I=,J=,K=,则I,J,K的大小关系是( ) (A)IJK (B)IKJ (C)JIK (D)KJI 5.(2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设I1=,I2=,则( ) (A)I1I21 (B)1I1I2 (C)I2I11 (D)1I2I1 6.(2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设Ik=(k=1,2,3),则有( ) (A)I1I2I3 (B)I3I2I1 (C)I2I3I1 (D)I2I1I3 7.(2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的 图形如图,则函数F(x)=的图形为( ) (A) (B) (C) (D) 8.(2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)如图,连续函数y=f(x)在区间[?3,?2], [2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)= ,则下列结论正确的是( ) (A)F(3)=-F(-2) (B)F(3)=F(2) (C)F(-3)=F(2) (D)F(-3)=-F(-2) 4.