高考数学母题：三角函数的对称性质.docVIP

三角函数的对称性质 三角函数的图象具有丰富的对称性,不仅具有轴对称性,而且还具有中心对称性;与三角函数的对称性有关的基础知识有三角函数对称轴和对称中心的性质、三角函数对称轴和对称中心与其周期的关系. [知识结构]:(Ⅰ)(对称轴心)1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B:①直线x=x0是函数f(x)图象的对称轴直线x=x0过f(x)最大值或最小值点sin(ωx0+φ)=1ωx0+φ=kπ+;②点(x0,B)是函数f(x)图象的对称中心点(x0,B)是函数f(x)图象与直线y=B的交点sin(ωx0+φ)=0ωx0+φ=kπ;2.函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B:①直线x=x0是函数f(x)图象的对称轴直线x=x0过f(x)最大值或最小值点cos(ωx0+φ)=1ωx0+φ=kπ;②点(x0,B)是函数f(x)图象的对称中心点(x0,B)是函数f(x)图象与直线y=B的交点cos(ωx0+φ)=0ωx0+φ=kπ+;3.点(x0,B)是函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B图象的对称中心ωx0+φ=; (Ⅱ)(对称周期)1.对f(x)=Asin(ωx+φ)+B或Acos(ωx+φ)+B:①相邻两对称轴、两对称中心的距离均为;②对称中心到对称轴距离的最小值是;③如果直线x=x0是f(x)的对称轴,则f(x)的所有的对称轴方程为x=k+x0,对称中心为(k++x0,B);④如果点(x0,B)是f(x)的对称中心,则f(x)的所有的对称轴方程为x=k++x0,对称中心为(k+x0,B);2.对函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B,或f(x)=Acot(ωx+φ)+B:①相邻两对称中心的距离为;②如果点(x0,B)是f(x)的对称中心,则f(x)所有的对称中心为(k+x0,B). [问题类型]: 1.对称轴心 [例1]:(2005年山东高考试题)己知函数f(x)=sin(x-)cos(x-),则下列判断正确的是( ) (A)f(x)的最小正周期为2π,图象的一个对称中心是(,0) (B)f(x)的最小正周期为π,图象的一个对称中心是(,0) (C)f(x)的最小正周期为2π,图象的一个对称中心是(,0) (D)f(x)的最小正周期为π,图象的一个对称中心是(,0) [解析]:由f(x)=sin(2x-),且f()=0最小正周期为π,图象的一个对称中心是(,0).故选(B). [方法导引]:关于正、余弦三角函数,其对称轴与对称中心的判别有两种方法:直接求解法和代入验证法;关于正切函数的对称中心有两类:一类是图像与x轴的交点;二类是图像的渐进线与x轴的交点. [同类试题]: 1.(2008年安徽高考试题)函数y=sin(2x+)图像的对称轴方程可能是( ) (A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x= 2.(2004年全国Ⅱ高考试题)己知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则φ可以是( ) (A)- (B) (C)- (D) 2.对称周期 [例2]:(2006年湖南高考试题)设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是( ) (A)2π (B)π (C) (D) [解析]:由最小正周期=4×=π.故选(B). [方法导引]:三角函数的对称轴、对称中心与其最小正周期关系,可研究已知函数的最小正周期,或两条相邻的对称轴(中心),或一对称中心和与其最近的一条对称轴,或隐含对称中心和对称轴等相关问题. [同类试题]: 3.(2014年天津高考试题)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( ) (A) (B) (C)π (D)2π 4.(2012年课标高考试题)已知ω0,0φπ,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( ) (A) (B) (C)