高考数学母题：不等式恒成立.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(11-21):不等式恒成立(256) 687 不等式恒成立 [母题]Ⅰ(11-21):(2006年陕西高考试题)己知不等式(x+y)()≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2 [解析]:由a为正实数(x+y)()=1+a++≥1+a+2=(+1)2;所以,(+1)2≥9a≥4.故选(C). [点评]:多元不等式恒成立问题是恒成立问题的难点问题,解决问题的关键是求多元函数的最大值或最小值,常用的工具是基本不等式,常用的方法是分离参数法. [子题](1):(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设a,b,c∈R+,若(a+b+c)()≥k恒成立,则k的最大值是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [解析]:因(a+b+c)()=2++≥4,故(a+b+c)()≥k4≥k,故k的最大值是4.故选(D). 注:不等式恒成立问题的实质是求最大值或最小值问题,求多元函数的最大值或最小值常用的工具是基本不等式. [子题](2):(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设abc,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 [解析]:由+≥n≤+;而+=+=++2≥4n≤4.故选(C). 注:分离参数法仍是解决多元不等式恒成立问题的常用方法. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式+≤k对任意正实数x,y成立,则k的取值范围是 . [解析]:由+≤kk≥k2≥;而=(令=t)== (1+)(令4t+1=u)=(1+)≤(1+)=k2≥k≥k的取值范围是[,+∞). 注:本题首先利用换元,把多元函数转化为一元函数,然后,再利用换元,转化成可利用不等式求最值的形式,换元法是解决多元不等式恒成立问题的有力方法. [子题系列]: 1.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)己知x,y∈R+,且x+y=5,若lgx+lgy≤k恒成立,则k的最小值是 . 2.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知lga+lgb=0,则满足不等式+≤λ的实数 688 [母题]Ⅰ(11-21):不等式恒成立(256) λ的取值范围是 . 3.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)当ab0时,使不等式-k(-)恒成立的常数k的最大值是 . 4.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x+2≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立,则实数的最小值为 . 5.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式+≤m对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是( ) (A)2 (B) (C)2 (D)4 6.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式+≤a都成立,则a的最小值是 . 7.(1990年全国高中数学联赛试题)设n是自然数,对任意实数x,y,z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立,则n的最小值是 . 8.(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x、y,恒有≤,则k的最大值为 . 9.(2007年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)若不等式λ(x+1)对x∈(0,2)恒成立,则满足此条件的实数λ的最小值是 .