02—韦达定理-教师版.docxVIP

PAGE PAGE 2 高一数学暑假班（教师版） 教师 日期 学生 课程编号 课型 衔接课 课题 韦达定理 教学目标 配方法与一元二次方程； 回顾判别式； 根与系数之间的关系，韦达定理； 根与系数关系的提高与推广． 教学重点 1、根与系数之间的关系，韦达定理； 2、韦达定理常见题型及解题思路． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 10 2 例题解析 60 3 巩固训练 30 4 师生总结 20 5 课后练习 30 韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理． 韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 一、运用韦达定理，求方程中参数的值 【例1】已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出的值．设方程的另一个根为，则，．由，得．所以，方程的另一个根为．的值为-7． 【巩固训练】 1． 和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数的值范围是． 【难度】★★ 【答案】 2．，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】由方程的结构可知、是方程的两根，由韦达定理可得 二、运用韦达定理，求代数式的值 【例2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根． (1) 求|x1-x2|的值； (2) 求的值； (3) 求＋的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：分别变形为可以利用x1＋x2和x1x2来表示的形式． 解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x-3=0的两根， ，． (1)∵|x1-x2|2=＋-2x1x2=(x1＋x2)2-4x1x2， ． (2)． (3)＋=(x1＋x2)(-x1x2＋)=(x1＋x2)[(x1＋x2)2-3x1x2] ． 评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，则 ，， ． 于是有下面的结论： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，则(其中Δ=b2-4ac)． 【例3】已知、是方程x2＋2x-5=0的两个实数根，则2＋＋2的值为_______． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题． 解：由于、是方程x2＋2x-5=0的实数根， ∴2＋2-5=0，=-5，∴2＋2=5 ∴2＋＋2=2＋2＋ =5-5=0 评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合； (2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式． 【例4】关于x的方程的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值． 【难度】★★ 【答案】3 【巩固训练】 1．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为． 【难度】★★ 【答案】0 2．设a,b是相异的两实数，满足的值． 【难度】★★ 【答案】 3．设实数a,b分别满足且的值． 【难度】★★ 【答案】-5 三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况 【例5】已知关于x的方程x2＋2(m-2)x＋m2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零． 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2=-2(m-2)，x1·x2=m2＋4． ∵＋-x1·x2=21， ∴(x1＋x2)2-3x1·x2=2