导数及其应用基础练习.docxVIP

　导数及其应用强化练习 题型一　导数意义及应用 例1-1　在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________． 答案　(1)(－2,15)　解析　(1)因为y′＝3x2－10，设P(x，y)， 则由已知有3x2－10＝2，即x2＝4，∴x＝±2， 又∵点P在第二象限，∴x＝－2. 则y＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点P坐标为(－2,15)． 例1-2　(2013·福建)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq \f(a,x). (1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－eq \f(2,x)(x0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)，x0知： ①当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 变式训练1　(1)(2013·湖北)直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x (x0)的一条切线，则实数b＝________. 答案　－ln 2－1 解析　切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值．y′＝eq \f(1,x)，令eq \f(1,x)＝2，得x＝eq \f(1,2)，故切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，ln \f(1,2)))，代入直线方程，得ln eq \f(1,2)＝2×eq \f(1,2)＋b，所以b＝－ln 2－1. 题型二　利用导数研究函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋eq \f(2,x)在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 审题破题　(1)直接根据f′(x)0确定单调递减区间；(2)g(x)在[1，＋∞)上单调，则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立． 解　(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－2时，f′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2?x＋1??x－1?,x)， 故f(x)的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得g′(x)＝2x＋eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数． ①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a≥eq \f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上恒成立， 设φ(x)＝eq \f(2,x)－2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. ②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a的取值范围为[0，＋∞)． 变式训练2　已知函数f(x)＝ln(2－x)＋ax. (1)设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，求a的值； (2)当a0时，求函数f(x)的单调区间． 解　(1)函数的定义域为(－∞，2)． 依题意得f′(x)＝a＋eq \f(1,x－2). 因此过(1，f(1))点的切线的斜率为a－1. 又f(1)＝a，所以过点(1，f(1))的切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 即(a－1)x－y＋1＝0. 又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1， 依题意，有eq \f(|1－a＋1|,\r(?a－1?2＋1))＝1，解得a＝1. (2)f(x)＝ln(2－x)＋ax的定义域为(－∞，2)， f′(x)＝a＋eq \f(1,x－2).因为a0，所以2－eq \f(1,a)2. 令f′(x)0，解得x2－eq \f(1,a)； 令f′(x)0，解得2－eq \f(1,a)x2. 所以，f(x)的单调增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，2－\f(1