直线与平面垂直的判定学案成稿.docVIP

第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 直线与平面垂直的判定学案 学习目标 1. 理解直线与平面垂直的定义； 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用； 3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角. 【先学自研】 一、知识梳理 探究1：直线和平面垂直的概念 问题：（1）如图，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上， 观察边与桌面的位置关系呈什么状态？ （2）绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的 过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？ 新知1：（概念） 如果直线与平面内的 直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足. （如图所示.） 反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？ ⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？ 探究2：直线与平面垂直的判定定理 问题：如图，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？ 结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如图所示. 反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗? ⑵如图，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论? 新知2：（判定定理） 文字表述： ，则该直线与此平面垂直. 图形表示： 符号表示： 小试牛刀 已知：正方体AC1。求证：AC平面BB1D1D. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1 的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：（1）BD⊥平面AC1 （2）A1O⊥平面GBD. 探究3：直线与平面所成的角 新知3：(斜线、斜足、射影、斜线和平面所成的角) 如图，斜线 ：直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线， 斜足：和平面的交点叫斜足； 射影：，叫做斜线在平面上的射影. 斜线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角. 直线与平面所成的角 （1）如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）A1B与平面AB1C1D所成的角． （2）A1B与平面A1B1CD所成的角． 二、课后练习 1、如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 2、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点， AN⊥PM，垂足为N. 求证：AN⊥平面PBM. 3、如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 小结：1、直线与平面垂直的判定方法 定义 定理 推论 2、直线与平面所成的角 1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点． PMBCDA P M B C D A N 2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3eq \r(3)，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上． (1)求证：BC′⊥平面AC′D； (2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值． 3.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝　　　　时，CF⊥平面B1DF.（选作）