第三章一元函数的导数、微分及其应用第二节 导数的运算.ppt

第三章 一元函数的导数、微分及其应用 第一节 导数的概念 第二节 导数的运算 第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理 第五节 导数的应用 一、导数的四则运算法则 例4. 二、反函数的求导法则 例5. 求函数 的导数. 例6 小结：初等函数的微商公式 三、复合函数的求导法则 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 四、隐函数的求导 例12. 求由方程 五、参数方程所确定函数的求导 例13. 设由方程 定义. 例1. 例2. 设 例3. 设 若上述参数方程中 内容小结 数学与生物信息学教研室 Mathematics Bioinformatics Group 数学与生物信息学教研室 Mathematics Bioinformatics Group * 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 第二节 导数的运算 第二章 一、导数的四则运算法则 四、隐函数的求导法则 五、参数方程所确定函数的求导 六、高阶导数 定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (2) (3) 推论1: ( C为常数 ) 推论2: 解: 类似可得: 例1．求三角函数 和 的导数. 例2. 已知 求 解. 例3. 设 解. 解: 定理2. y 的某邻域内单调可导, 解: 设 则 利用 , 则 类似可求得 则 特别当 时, 求指数函数 ( ) 的导数 解: 1. 常数和基本初等函数的导数 在点 x 可导, 定理3. 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 例7. 设 ,求 解: 例8. 设 解: 解: (1) (2) 例9. 设 ，求幂函数的求导公式 例10. 某血管横截面上离中轴线距离 处血液流动速度为 ， 其中， 是血管半径， 为生理常数. 已知阿司匹林具有舒张微细血管的 作用. 假如病人遵照医嘱服用两片阿司匹林， 在随后的一段时间里，动脉血管半径以 扩张，求动脉中血流速度 关于时间 的变化率. 解: 因为 , 所以 根据复合函数求导公式有 因为 ，所以 . 从而 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 例11. 求由方程 所确定的隐函数 的导数 . 解. 将方程两边分别对 求导，得 即 解得 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 时, 有 关系,当 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 六、高阶导数 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 设 求 解: 依次类推 , 可得 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 求 解: 一般地 , 类似可证: