初中几何证明题库：矩形.docVIP

例8.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。 （2）连接ON， ∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点， △AED的外接圆与BC相切于点N， ∴ON⊥BC。 ∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。 ∴点N是线段BC的中点。 （3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。 在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。∴FG=。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。 （2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求 出FO，从而可得出FG的长度。 8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为 ▲ 。 10.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q． （1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）； （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． 1.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ▲ ． 例2.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】 A．2 B．4 C． D． 【答案】D。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案： 过点N作NG⊥BC于G， ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。 由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。 ∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。 设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在Rt△CGN中，， 在Rt△MNG中，， ∴。故选D。 例1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。 例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是