太原工业学院电气工程系自动控制理论课件第8章 线性离散系统分析.pptVIP

其特征方程根为 ，奇点为稳定焦点，系统稳定！相轨迹如图： 线性区： 当 时，线性区有一个奇点（0，0）。 此时： 相轨迹： 可见，两个饱和区均可表示为： 则： 因此相轨迹无奇点，等倾线方程 为一簇平行于横轴的直线，即等倾线的斜率为0，此时有两条特殊等倾线：α=0，k=0，且 线性区： 当 时，线性区有一个奇点 为稳定焦点； 奇点位置向右平移，而等倾线分别向上下平移，因此对于相同的初始条件相轨迹将变得比较复杂： 负饱和区内特殊的等倾线为 ； 正饱和区内特殊的等倾线为 ； 相轨迹奇点（0.3，0）为稳定焦点，且为虚奇点，饱和区的两条特殊的等倾线均位于相平面的上半平面，起始于任何初始点的相轨迹将沿正饱和区的特殊相轨迹发散至无穷。 相轨迹奇点（0.1，0）为稳定焦点，且为实奇点，负饱和区和正饱和区的两条特殊的等倾线分别位于相平面的上下半平面，超始于任何初始点的相轨迹最终都收敛于该奇点，系统的稳态误差为0.1。 相轨迹奇点（0.2，0）为稳定焦点，为实奇点，且位于开关线 e=e0 上，正饱和区的线性微分方程为： 该区域内的相轨迹是斜率为-1/T的直线，横轴上大于e0的点均为奇点，起始于任何初始点的相轨迹最终都落在ee0的横轴上，系 统存在稳态误差， 其稳态误差取决于 初始条件 。 分析图示的机械系统其运动特性，其中物体m受到弹簧力和库仑摩擦力。 即： 例： 解： 系统可表示为 积分并整理得 其中，C为积分常数。 由此可见, 当x＞0时，系统相轨迹是中心在(-F/k,0)的一簇椭圆；而当x＜0时，其相轨迹是中心在(F/k,0)的一簇椭圆。 由图可见，当物体沿相轨迹运动到x轴的(-F/k,0)和(F/k, 0)之间时将停止运动，这是库仑摩擦力造成的运动死区。x轴从(-F/k,0)到(F/k,0)的部分为奇点。若初始点为A点，则相轨迹为ABC，终止于C点。 . . 机械系统的相轨迹 图示的是某角度随动系统的方块图，其中执行电机近似为一阶惯性环节，增益K1(e)是随信号大小变化的，大信号时的增益为1，小信号时的增益为k(k＜1)，其特性如下图所示。 例： 分析输入为阶跃信号和斜坡信号时的系统运动情况。 解 线性部分的系统方程为 所以微分方程为： 非线性特性的表达式为： 由于e和m的关系分为3个线性段，在|e|＞e0时斜率均为1，在|e|＜e0时斜率均为k＜1，所以尽管在相平面上有3个区域(记为Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ)，但系统只有两个不同的微分方程。假设系统原来处于静止状态, 便可令 。 奇点为e=0, e=0，即原点。所以对中间区域，它是实奇点；对两边的区域，它是虚奇点。  通过选K和T值，使 1-4kKT＞0，且使1-4KT＜0。不妨设T=1, K＝4, k＝0.062, e0=0.2。输入较大时，如|e|＞e0，起始点在两边的区域，1-4KT＜0，为欠阻尼，所以原点是稳定焦点；输入较小时，如|e|＜e0，起始于中间的区域，1-4kKT＞0，为过阻尼，故原点是稳定节点。 . (1) 阶跃输入r(t)＝1(t) 阶跃输入下的相轨迹 由A点出发的运动以原点 为稳定焦点，但到达边界的B 点后，原点又变成了稳定节点。 CD段时原点又为稳定焦点。如此每经过边界时，都改变运动的性质，只有最后进入区域Ⅱ，沿DO段渐近收敛到原点。在这种情况下，调节过程可以加快。因为误差信号较大时，系统为欠阻尼，运动速度较快，所以使误差很快变小；而误差变小后，系统为过阻尼，可以避免振荡。 在中间区域，奇点为e=V/(kK), e=0，记P2＝V/(kK)。在两边区域，奇点为e=V/K, e=0，记P1＝V/K。显然，P2＞P1。参数设置同上，则1-4kKT＞0，且1-4KT＜0。则e轴上的P2点是稳定节点，P1点是稳定焦点。但它们的位置将与参数设定有关。下面分3种情况讨论： . . (2) 斜坡输入r(t)＝R＋Vt . .. r=V, r =0 这时P2=V/(kK)＜e0，为实奇点； P1=V/K＜ke0＜e0，为虚奇点。 又V=0.04，所以P2=V/(kK)=0.16，P1=V/(K)=0.01。其相轨迹如图所示。运动在到达边界进入中间区域后改变性质，P2代表稳定的实节点，所以运动收敛到P2，因此稳态误差ess= P2 。