直角坐标系下二重积分的计算.pptVIP

* §2 直角坐标系下二重积分的计算 (化二重积分为累次积分) 1.矩形域上的二重积分 (1) 问题的提出 1 1 例1 设 求 解： 因 在有界闭区域 上连续，所以 在 上可积。 （因此，对 上的任一分割 ，当其细度 时，有相同的极限， 故只需求出一个和式的极限即可） 作D的分割T: 作积分和: 令 取极限得 例1 设 求 注意下面的做法: 是一种巧合?还是必然? (2) 化二重积分为累次积分 定理21.8 设 在矩形区域 上可积,且对每个 积分 存在,则累次积分 也存在,且 定理21.8 设 在矩形区域 上可积,且对每个 积分 存在,则累次积分 也存在,且 证 令 即要证 在 上可积,且 即要证 设 为 上的分割: 为 上的分割: 相应得到 的分割 将 分为 个小矩形. 记 在 上任取一点 令 取极限得 即 定理21.8 设 在矩形区域 上可积,且对每个 积分 存在,则累次积分 也存在,且 定理21.9 设 在矩形区域 上可积,且对每个 积分 存在,则累次积分 也存在,且 推论 设 在矩形区域 连续，则 例1 计算 其中 解： 2.一般区域上的二重积分计算 (1) 型区域与 型区域 型区域 型区域 型区域可表为: 型区域可表为: 2.一般区域上的二重积分计算 (1) 型区域与 型区域 型区域 型区域 型区域可表为: 型区域可表为: ★ 任何区域都可分割分为 型区域与 型区域的组合. ★ 一个平面区域, 有时可视为为x型区域, 也可视为y型区域的组合. ★ 将有界平面区域, 分化为适当为x-型区域和y-型区域的组合，对 计算二重积分非常重要. 例1 可视为 区域： 可视为 区域： 例2 在第一象限部分。 可视为 区域： 可视为 区域： 例3 可将D分为两个x-型区域 可将D分为两个y-型区域 例4 D: （D为x-型区域） (2)分二重积分为累次积分 预备定理: 若 在有界闭区域 上有界, 为连续函数,其图象含于 中.若 的不连续点落在曲线 上,则 在 上可积. 定理21.10 若 在区域 上连续, 都在 上连续,则 定理21.10 若 在区域 上连续, 都在 上连续,则 证: 由于 都在 上连续,故存在矩形区域 令 则由预备定理, 在 上可积,且 定理21.10 若 在区域 上连续, 都在 上连续,则 若积分区域为 型区域: 则 习 题 课 内容： 1、改变积分顺序 2、二重积分的计算 例2. 设f(x,y)在区域D上连续, 试将二重积分 表示为不同顺序的累次积分 (1) D由不等式 y≤x, y≥a, x≤b (0≤ab) 所确定的区域; (2) D由不等式 所确定的区域; (3) 例3. 在下列积分中改变累次积分的顺序: (1) (2) (3) 例4. 计算下列二重积分: (1) D由抛物线 与直线 所围成的区域. (2) 其中 (3) D如图所示(绿色部分) (4) 其中 a 例2. 设f(x,y)在区域D上连续, 试将二重积分 表示为不同顺序的累次积分 (1) D由不等式 y≤x, y≥a, x≤b (0≤ab) 所确定的区域; 解: 将D视为x-型区域: 则 将D视为y-型区域: 则 例2. 设f(x,y)在区域D上连续, 试将二重积分 表示为不同顺序的累次积分 (2) D由不等式 所确定的区域; 解: 将D视为x-型区域: 则 将D视为y-型区域: 则 (3) 解: 将D分为左右两个x-型区域: 则 例3. 在下列积分中改变累次积分的顺序: (1) 解: 积分区域为: 如图所示, 将D分为两个y-型区域: 故 (2) 解: 积分区域为: 将D分为上下两个y-型区域: 故原积分可化为: *