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微分方程 第九节 常系数非齐次线性微分方程 一、 型 三、小结 * 一、 型 二、 型 三、小结 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例2 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例3 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 例4 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： （1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力； （2）若摩擦力为1m长的链条的重量. 解 (1)以钉子处为原点, s 轴竖直向下，设在t 时刻，链条较长一段下垂s m，且设链条的密度均匀分布为 ，则向下拉链条下滑的作用力为 方程的标准形式为 特征方程及特征根为 代入初始条件得 即 当s =20m 时，链条全部滑下，需时 同理可解得 例5 设函数 连续，且满足 求 解 对积分方程两边求导 再求导得 初始条件为 特征方程和特征根为 由于自由项 不是特征根，故设 解得 a =1/2 再代入初始条件可得 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式. 思考题解答 设 的特解为 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根）