多元极限与连续.pptVIP

多元函数极限与一元函数极限有很多共性： 例2.2 讨论函数 例 求： 解:这里 定理2.2 （最大值和最小值定理） 一点P2，使得f (P1)为最大值而f( P2)为最小值，即对于 例6 求 第二节 多元函数的极限与连续 (也称为二重极限) 当点 则称 A 为函数 都有 若存在常数 A , 对任意正数 ? , 总存在正数 ? , 定义2. 1 设 一、二元函数的极限 “＋－×÷” 运算； 极限的变量代换； 夹逼准则。 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 初等函数的极限； ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同,自变量趋于原点的路径也不同，极限也不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 函数 的定义域为D={(x , y)| x≠0, y?R} 点P0(0,2)为D的聚点． 由极限运算法则得 二、 多元函数的连续性 定义2 .2 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 初等函数在定义区域内连续. 在有界闭区域 D上的连续函数，在 D上一定有 最大值和最小值．这就是说，在 D上至少有一点P1及 一切P∈D, 有 定理2.3（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于 最大值和最小值之间的任何值． 推论 有界闭区域 D上的连续函数一定有界 内容小结 解:函数 是初等函数， ．