全微分的定义.pptVIP

* * 全微分 一、全微分的定义 二、全微分存在的必要条件 三、全微分存在的充分条件 一元函数y=f(x)在点x0处的微分： 其中 一、全微分的定义 设二元函数y=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量 和 时，函数的全增量为 例1 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增加 ，其面积相应增加 全增量 由 三项组成. 比其余两项小得多. 所以全增量 只是 的函数. 将增量 分离出 和 的线性部分 ,再加上一项比 高阶的无穷小 . 又因为x0，y0为常数， 定义 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量 可表示为 其中A，B与 无关， 是比 高阶的无穷小，则称 为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即 也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微. 与一元函数类似，全微分dz是 的线性函数， 是比 高阶的无穷小.当 充分小时，可用全微分dz作为函数的全增量 的近似值. 二、全微分存在的必要条件 定理8.2 (全微分存在的必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且 A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0). 证 因为f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则有 对任意的 都成立. 取 ，此时 ，则有 两边同除以 ，再令 ，取极限，得 这个可定理得到全微分的计算公式： 与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自变量的微分dx，dy，即 .于是全微分又可写成 如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内任一点处的全微分为 或写成 定理8.3 (全微分存在的必要条件) 如果函数z=f(x,y)在 (x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续. 证 根据函数可微的定义，有 当 时，有 ， 根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的. 因此 三、全微分存在的充分条件 例如 在点(0,0)处不连续，故由定理8.3可知，在(0,0)点是不可微的.但这个函数在(0,0)点的两个偏导数是存在的且 该例说明，尽管函数在(0,0)点的两个偏导数存在，但函数在(0,0)点仍是不可微的，即定理8.2的逆定理是不成立的.下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件. 定理8.4 (全微分存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数 ，则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微. 例如 在O(0,0)处可微，但偏导数在原点O(0,0)不连续. * *