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不用极限怎样讲微积分 张景中 （广州大学计算机教育软件研究所） 讲微积分必须讲极限，否则就讲不清楚，这几乎是两百年来数学界的共识，但逆反心理总是有的，越说不用极限不能讲微积分，就越有人想打破框框，想不用极限讲讲微积分，这不，有本书就叫做《不用极限的微积分》(原文：Calculus With-out Limit) [1]。在网上看到这书名如获至宝，带着激动的心情下载解包急欲一读为快．一看封面，心先凉了一半，原来在书名后面有一条小尾巴：一almost. (图1) 这就是说不是不用极限，是“几乎”不用极限，再看内容，就知道了所谓“几乎”不用极限，就是用直观描述代替严谨的极限定义，这和许多微积分的通俗读物本质上没有区别，是模模糊糊的说不清楚的微积分，听有些在大学里讲微积分的老师说，学生根本没有学过微积分还好教，如果学过一些说不清楚的微积分，成了夹生饭，就更不容易教他学懂微积分了，是否真的如此，没有调查研究不敢妄言．但不用极限讲微积分这个题目，就显得更诱人． 五十年前学微积分，三十年前又教微积分，常常想一个问题：怎样把微积分变得容易些，曾经想过不用来寇义极限[2]，但不用极限讲微积分的问题更有意思，在数学教育中更有实际意义，近来在林群先生一系列工作[3，4，5，6]的启发下，偶有所得，自以为是真正实现了不用极限讲微积分，而且是严谨地讲，不用almost.其中有些思路好像以前没有人说过，于是抛砖引玉，希望对高中里的微积分的教学，以及大学里高等数学的教学改革有些用处． 1 差商和差商有界的函数 讲这个问题总得有点预备知识，无非是函数，差分，差商． 高中数学课里函数总是要讲的，习惯上只讲一元函数．其实大可以不必这么小气，同时提一下多元函数概念只有好处．小学里的加减乘除都是2元函数，求梯形面积公式就是3元函数，求圆面积公式才是一元函数，这样一讲，学生会感到函数不是新来的怪物，是老朋友，更直观更具体，然后先从一元函数来研究，多元函数概念立此存照．有此伏笔，将来把定积分看成区间两端点的2元函数就顺理成章了． ．接着要讲函数的递增递减．判断函数的增减性最好给学生一个工具，这工具就是差分或差商湘教版高中教材讲了差分：当h0时，差分正则函数增，差分负则函数减，人教版高中教材讲了差商：差商正则函数增，差商负则函数减．知道了差分和差商，讲微积分就方便了，不管用不用极限，差分和差商总是要用的． 差商是函数在一个区间上的平均变化率．常见的函数，在有限区间上的差商多是有界的，这类函数很重要，干脆给个定义： 定义1.1 若函数在区间I上有定义，且有正数M使得对I上任意两点uv，总有不等式成立，则称，在区间I上差商有界，也说，在区间I上满足李普西兹条件（Lipschitz条件）． 定理1.1 在区间[a,b]上差商有界的函数在区间[a,b]上必有界．这是因为 之故。 例1.1 求证函数在区间[a,b]上差商有界． 证明 对[a,b]上任意两点uv，总有 取，即知函数在[a,b]上差商有界． 例1.2 求证函数在区间[o，1]上非差商有界，但对于任意的a0，它在上差商有界． 证明 先用反证法证明其在区间[0，1]上非差商有界．若不然，有正数M，使得对[0，1]上任意两点uv，总有不等式立，也就是有成立，可见2M≥1．取代人推出2≤1，矛盾． (图2). 而当a0时在上，由于,可见它是差商有界的。 几何上看，差商有界的函数，其曲线上任意两点所确定的直线的斜率的绝对值有界，也就是不能太陡， 多项式函数，三角函数，指数函数和对数函数，在有定义的闭区间上，总是差商有界的．两个差商有界函数的和，积．以及复合函数也是差商有界的， 显然有 定理1.2 如果函数F(x)在区间[a，c]上和区间[c，b]上都是差商有界的，则它在区间[a．b]上也是差商有界的．反过来，若函数F(x)在区间 [a，b]上差商有界，则它在[a，b]的任意子区间上也是差商有界的． 差商有界的函数，都是规规矩矩的“好函数”．练习计算函数的差分差商，估计差商的绝对值的上界，难度不大，对进一步学微积分却很有帮助． 2 换一个眼光看3个经典例子 不用极限，如何看待微积分的几个经典案例呢？ 例2.1 用S=S(t)表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V = V(t)表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间[u，v]上的平均速度的大小，应当在[u,v]上的某两个时刻的瞬时速度之间． 也就是说，有[u，v]上的p和q，使得下面的不等式成立： 上式可用语言表达为“函数S(t)的差商是v(t)的中间值”． 要注意的是，尽管学生容易理