复变函数期末卷2018（A）含标准答案.docVIP

杭州电子科技大学学生期末试卷（A卷）标准答案 考试课程 复变函数与 数学物理方程 考试日期 2006年1月 8日 成 绩 课程号 教师号 任课教师姓名 考生姓名 学号（8位） 年级 专业 题次 一 二 三 四 五 得分 注意：本卷共五道大题 ，各题包括若干小题，共3页，满分100分，时间120分钟 一、填空题（每空2分，共16分） 1．是的______2______级极点. 2．设复数，则 . 3．幂级数的收敛半径为_________. 4．混合问题对应的特征值问题为, 特征值为,特征函数为. 5．柯西问题的解_____. 6．对于偏微分方程，由其在某区域的判别式可判断该 方程属于_椭圆__型方程. 二、判别正误题（本题共4个小题，每小题2分，共8分） 1．复数是的三角形式. ( × ) 2．在单连通域内解析，为内简单正向闭曲线, 则. ( × ) 3．级数是发散的. ( √ ) 4．函数在复平面上解析. ( √ ) 三、积分（沿圆周正向）运算题（本题共4个小题，每小题4分，共16分） （1） （4分） （2）（4分） 解：原式= 解：原式= =……………2分 =……………………….……..2分 =……………………….2分 =………………………………………….…..2分 （3）（4分） （4）运用留数求积分 （4分） 解：原式= 解：原式= =+…….2分 =…………..2分 = = = ………………………..2分 =…………………………………………………2分 第 1 页 共 3 页 四、证明求解题（每小题5分，共10分） 1．函数在区域内解析,且在内，试证在内必为常数.(5分) 证明：由C-R方程 将代入可得 ，因此，，故，………………2分 由前面式子可得 ，，……………………………………………2分 所以 为常数，为常数，从而为常数…………………………………….1分 1分 2．求证为调和函数，并求其共轭调和函数.（5分） 证明： , , …………………………1分 所以，，即函数为调和函数……………………………………..1分 解： 由C-R条件， 所以 ………………………………………………..1分 又 ，故 所以 因此 ……………………………………………….2分 五、解答题（本题共5个小题，每小题10分，共50分） 1. 试将函数以下区域内展开为泰勒级数或洛朗级数（10分）： （1）; （2）. 解：（1）展开为泰勒级数： ……………………2分 =………..3分 （2）展开为洛朗级数： …………2分 =..3分 2．解下列定解问题（10分）： 解： 所以 …………………………………………………5分 其中 ……………………………………..4分 故 …………………………………………..1分 第 2 页 共 3 页 3．求解如下定解问题（10分）： 解： 所以 ……………5分 其中 …………………………………………………………2分 …………2分 所以 ……….1分 求解下列定解问题（10分）： 解： 方程的解为 ，………………………………5分 ………………………………………………………………1分 …………………………………….1分 ……………………………….2分 所以 ……………………………………………………1分 5．求解如下定解问题（10分）： 解： 特征方程为 ……………………………2分 特征曲线 特征变换 …………………………………………………2分 代入方程的标准方程故方程通解为 ……………2分 由边条件得 解得 从而 ………………………………………………2