高等数学学习笔记 亳州市谯城区估衣小学 .docVIP

PAGE PAGE 1 高等数学学习笔记 亳州市谯城区估衣小学 唐士刚 第一章函数 实数 一、数的拓展 按照习惯,为简便起见: 自然数集—N, 整数集—Z, 有理数集—Q, 实数集 —R, 建立了实数轴之后,就建立了实数 → 对应数轴的点,那么下面我们要一一 建立某一实数集与数轴上某一区间的对应. 二、数轴 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。 利用数轴可以比较实数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。 三、区间 设数 a, b,且 a b ,则实数集 {x |a x b} 称为开区间,记为(a ,b) 即(a, b)= {x| a x b} . a 称为区间(a ,b)的左端点,b 称为(a, b)的右端点. 注意,a(a, b) b (a, b) , . 类似的有: 闭区间:[a, b]= {x a ≤ x ≤ b}, a ∈ [a, b], b ∈ [a, b] 半开区间:[a, b)= {x| a ≤ x b}, a ∈ [a, b), b [a, b] (a, b]= {x a x ≤ b}, a (a, b], b ∈ (a, b] 以上 a, b 都是实数,上述区间(a, b) ,[a, b],[a, b)(a, b]都是有限区间,数(b-a)称为这些区间的长度. 下面引进记号 + ∞ ——正无穷大, ∞ ——负无穷大,类似地有: [a,+∞) = {x |x ≥ a}(a,+∞) = {x |x a} .(∞, b] = {x| x ≤ b}, (∞, b) = {x| x b} 实数集 R=( ∞,+∞ ) 四、绝对值 1、代数定义： 　　|a|=a（a0） 　 　|a|=-a（a0） 　　 |a|=0（a=0） 意义 ：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 2、几何意义　：　在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上 表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是 二.函数的定义 1,常量与变量 圆的半径R 周长 L=2∏R 面积A=∏R2 2.函数的定义 定义 1.3 设有两个数集 X,Y, f 是一个确定的对应法则,若 x ∈ X ,通 过对应法则 f 都有唯一的 y ∈ Y 和它对应,记为: f ( x) = y 则称 f 为定义在 X 上的一元函数简称为函数。 X——f的定义域,常记D, x—自变量,y—因变量. 当 x 遍取 X 中的一切数时,那么与之对应 y 的值构成了一个数集 V = {y |y = f ( x ), x ∈ X },称为函数f 的值域. 3,函数概念包含的几个重要内容 (1) 定义域 (2)函数值 (3) 值域 4,表示函数的常用方法 1、 解析法（公式法）如： L=2∏R 2、 图像法 3、 列表法 三, 定义域与函数值的求法举例 1,显函数 y = f (x) 的定义域与函数值 。 例1、求函数 y= 的定义域D，及函数值 f(1/2)。 例 2 求函数f(x)= 的定义域 D 及函数值f (3) . 2、分段函数的定义域及函数值 例 3、求y=|x| 的定义域D及值域f（1/2） 例 4 求 y=的定义域D,值域 V 及 f (-1) . 例5 设 x∈R,不超过 x 的最大整数记为[x]. 函数y =[x]称为取整函 及 . 数.求取整函数的定义域 D ,值域 V。 四、 函数的性质 1、有界性 若3M0.使| f（x）| ≦M, I,则称函数f (x ) 在区间 I 上有界, 否则称 f (x ) 在区间 I 上无界，,即对任何 M0,总 3x1 ∈ I ,使 f |( x1 ) | M ,那么 f (x ) 在 I 上无 界。 例如: f (x ) =sin x 在区间 ( ∞,+∞ ) 内是有界的(Q sin x ≤ 1, x ∈ ( ∞,+∞) ), f (x ) = 在区间(0,1)内是无界的. 事实上,无论给定多么大的正数 M(不妨设 M1) ,必有 x1 = ∈（0，1） f ( x1 ) =2MM,故 f (x ) = 1 在(0,1)内无界. 例 7 函数f (x) = sin x 在 x∈(-∞,+∞) 内是有界. 2、单调性 (包括单调增加,单调减少) 若函数f (x ) 在区间 I 上,